回転行列(rotation matrix)が直交行列であることの確認

三角関数を用いて定義される回転行列(rotation matrix)は主に$2$次元のベクトルを原点の周りに回転させるベクトルを表しますが、回転行列は直交行列(orthogonal matrix)の一つです。当記事では回転行列が直交行列であることの確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

定義と概要の確認

$2$次の回転行列

$2$次の正方行列で表される回転行列は回転する角$\theta$を元に下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
R(\theta) = \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \sin{\theta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

たとえばベクトル$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)$に回転行列$\displaystyle R(\theta) = R \left( \frac{\pi}{6} \right)$を作用させると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
R \left( \frac{\pi}{6} \right) \mathbf{x} &= \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \cos{\frac{\pi}{6}} & \displaystyle -\sin{\frac{\pi}{6}} \\ \displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}} & \displaystyle \cos{\frac{\pi}{6}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle \frac{1}{2} \\ \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} 2 \sqrt{3} \\ 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の結果はベクトル$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)$を原点の周りに$30^{\circ}$回転させ、$\displaystyle \left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right)$が得られたと解釈することができる。

直交行列

下記のような式が成立する正方行列$X$を直交行列という。
$$
\large
\begin{align}
X^{\mathrm{T}} X = X X^{\mathrm{T}} = I
\end{align}
$$

回転行列が直交行列であることの確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$148$

$$
\large
\begin{align}
X = \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように$X$を定義するとき、$X X^{\mathrm{T}}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
X X^{\mathrm{T}} &= \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)^{\mathrm{T}} \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos^{2}{\theta}+(-\sin{\theta})^{2} & \sin{\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta} \\ \sin{\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta} & \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta} & 0 \\ 0 & \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = I
\end{align}
$$

上記より$X$は直交行列である。