モーメント母関数を用いた正規分布の平均・分散・歪度・尖度の計算

歪度(skewness)や尖度(kurtosis)はそれぞれ$3$次と$4$次のモーメントを元に計算を行いますが、具体的な値が計算される場合が少ないようです。そこで当記事では正規分布のモーメント母関数を元にそれぞれの値を計算し、正規分布の歪度が$0$、尖度が$0$であることも同時に確認を行います。
積の導関数の計算が多いので、以下では標準正規分布$\mathcal{N}(0,1)$について計算を行い、その次に正規分布$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$に関して計算を行います。

・平均、分散、歪度、尖度の定義まとめ
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/moment1.html

標準正規分布$\mathcal{N}(0,1)$

モーメント母関数の確認

標準正規分布$\mathcal{N}(0,1)$のモーメント母関数を$m(t)$とおくと$m(t)$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
m(t) = e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}
$$

モーメント母関数の導関数

前項で確認を行ったモーメント母関数$m(t)$の導関数は下記のように計算できる。
・$m'(t)$
$$
\large
\begin{align}
m'(t) &= \left( e^{\frac{t^2}{2}} \right)’ \\
&= e^{\frac{t^2}{2}} \times \left( \frac{t^2}{2} \right)’ \\
&= t e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}
$$

・$m^{”}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{”}(t) &= \left( t e^{\frac{t^2}{2}} \right)’ \\
&= e^{\frac{t^2}{2}} + t^2 e^{\frac{t^2}{2}} \\
&= (1+t^2) e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}
$$

・$m^{(3)}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{(3)}(t) &= \left( (1+t^2) e^{\frac{t^2}{2}} \right)’ \\
&= 2t e^{\frac{t^2}{2}} + (1+t^2)t e^{\frac{t^2}{2}} \\
&= (3t + t^3) e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}
$$

・$m^{(4)}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{(4)}(t) &= \left( (3t + t^3) e^{\frac{t^2}{2}} \right)’ \\
&= (3 + 3t^2) e^{\frac{t^2}{2}} + (3t + t^3)t e^{\frac{t^2}{2}} \\
&= (3 + 6t^2 + t^4) e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}
$$

ここまでで計算を行った導関数より、$E[X]=m'(0), E[X^2]=m^{”}(0), E[X^3]=m^{(3)}(0), E[X^4]=m^{(4)}(0)$の値は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) = 0 \times e^{\frac{0^2}{2}} = 0 \\
E[X^2] &= m^{”}(0) = (1+0^2) \times e^{\frac{0^2}{2}} \\
&= 1 \times 1 = 1 \\
E[X^3] &= m^{(3)}(0) = (3 \cdot 0 + 0^3) e^{\frac{0^2}{2}} = 0 \\
E[X^4] &= m^{(4)}(0) = (3 + 6 \cdot 0^2 + 0^4) e^{\frac{0^2}{2}} \\
&= 3 \times 1 = 3
\end{align}
$$

平均・分散・歪度・尖度の計算

上記を元に、平均$E[X]$、分散$V[X]$、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$をそれぞれ下記のように定める。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) \\
V[X] &= E[(X-E[X])^2] \\
S[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{3} \right] \\
K[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{4} \right] – 3
\end{align}
$$

ここで標準正規分布では平均に関して$E[X]=m'(0)=0$が成立するので、分散$V[X]$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[(X-E[X])^2] \\
&= E[X^2] = m^{”}(0) = 1
\end{align}
$$

このとき$E[X]=0, V[X]=1$より歪度$S[X]$、尖度$K[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
S[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{3} \right] \\
&= E \left[ \left( \frac{X-0}{\sqrt{1}} \right)^{3} \right] \\
&= E[X^3] = m^{(3)}(0) = 0 \\
K[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{4} \right]-3 \\
&= E \left[ \left( \frac{X-0}{\sqrt{1}} \right)^{4} \right]-3 \\
&= E[X^4]-3 = m^{(4)}(0)-3 = 3-3 = 0
\end{align}
$$

したがって、標準正規分布の平均$E[X]$、分散$V[X]$、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$はそれぞれ下記のような値を持つ。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= 0 \\
V[X] &= 1 \\
S[X] &= 0 \\
K[X] &= 0
\end{align}
$$

正規分布$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

モーメント母関数の確認

標準正規分布$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$のモーメント母関数を$m(t)$とおくと$m(t)$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
m(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\end{align}
$$

上記の導出は下記で取り扱った。

モーメント母関数の導関数

前項で確認を行ったモーメント母関数$m(t)$の導関数は下記のように計算できる。
・$m'(t)$
$$
\large
\begin{align}
m'(t) &= \left( e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \right)’ \\
&= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \times \left( \mu t + \frac{t^2}{2} \right)’ \\
&= (\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\end{align}
$$

・$m^{”}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{”}(t) &= \left( (\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \right)’ \\
&= \sigma^2 e^{\frac{t^2}{2}} + (\mu + \sigma^2 t)^2 e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \\
&= (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\end{align}
$$

・$m^{(3)}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{(3)}(t) &= \left( (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \right)’ \\
&= 2 \sigma^2(\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} + (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2)(\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \\
&= (3 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 t) + (\mu + \sigma^2 t)^{3}) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\end{align}
$$

・$m^{(4)}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{(4)}(t) &= \left( (3 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 t) + (\mu + \sigma^2 t)^{3}) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \right)’ \\
&= (3 \sigma^4 + 3 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 t)^2) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} + (3 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 t) + (\mu + \sigma^2 t)^{3})(\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \\
&= (3 \sigma^4 + 6 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 t)^2 + (\mu + \sigma^2 t)^4) e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\end{align}
$$

ここまでで計算を行った導関数より、$E[X]=m'(0), E[X^2]=m^{”}(0), E[X^3]=m^{(3)}(0), E[X^4]=m^{(4)}(0)$の値は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) = \mu \times 1 = \mu \\
E[X^2] &= m^{”}(0) = (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 \cdot 0)^2) \times 1 \\
&= \sigma^2 + \mu^2 \\
E[X^3] &= m^{(3)}(0) = (3 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 \cdot 0) + (\mu + \sigma^2 \cdot 0)^{3}) \times 1 \\
&= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3 \\
E[X^4] &= m^{(4)}(0) = (3 \sigma^4 + 6 \sigma^2 (\mu + \sigma^2 \cdot 0)^2 + (\mu + \sigma^2 \cdot 0)^4) \times 1 \\
&= 3 \sigma^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + \mu^4
\end{align}
$$

平均・分散・歪度・尖度の計算

平均$E[X]=m'(0)$、分散$V[X]=E[X^2]-E[X]^2=m^{”}(0)-m'(0)^2$はそれぞれ下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) = \mu \\
V[X] &= E[X^2]-E[X]^2 = m^{”}(0)-m'(0)^2 \\
&= \sigma^2 + \cancel{\mu^2} – \cancel{\mu^2} = \sigma^2
\end{align}
$$

また、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$はそれぞれ下記のように計算できる。
・歪度$S[X]$
$$
\large
\begin{align}
S[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{3} \right] \\
&= \frac{1}{\sigma^3} E[(X-E[X])^3] \\
&= \frac{1}{\sigma^3} E[X^3 – 3X^2E[X] + 3XE[X]^2 – E[X^3]] \\
&= \frac{1}{\sigma^3} (E[X^3] – 3E[X^2]E[X] + 2E[X]^3) \\
&= \frac{1}{\sigma^3} (3 \mu \sigma^2 + \mu^3 – 3\mu(\sigma^2 + \mu^2) + 2 \mu^3) \\
&= 0
\end{align}
$$

・尖度$K[X]$
$$
\large
\begin{align}
K[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{4} \right]-3 \\
&= \frac{1}{\sigma^4} E[(X-E[X])^4]-3 \\
&= \frac{1}{\sigma^4} E[X^4 – 4X^3E[X] + 6X^2E[X]^2 – 4XE[X]^3 + E[X]^4]-3 \\
&= \frac{1}{\sigma^4} (E[X^4] – 4E[X^3]E[X] + 6E[X^2]E[X]^2 – 3E[X]^4)-3 \\
&= \frac{1}{\sigma^4} (3 \sigma^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 – 4 \mu (3 \mu \sigma^2 + \mu^3) + 6 \mu^2(\sigma^2 + \mu^2) – 3 \mu^4)-3 \\
&= \frac{1}{\sigma^4} (3 \sigma^4 + (6-12+6) \mu^2 \sigma^2 + (1-4+6-3)\mu^4)-3 \\
&= \frac{3 \cancel{\sigma^4}}{\cancel{\sigma^4}}-3 = 3-3 = 0
\end{align}
$$

したがって、正規分布$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$の平均$E[X]$、分散$V[X]$、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$はそれぞれ下記のような値を持つ。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \mu \\
V[X] &= \sigma^2 \\
S[X] &= 0 \\
K[X] &= 0
\end{align}
$$

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