正規分布のモーメント母関数の導出に基づく期待値・分散の計算について

正規分布については連続型確率分布のところで簡単に取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/probdist2.html#i-2
一方で、上記ではモーメント母関数の導出やモーメント母関数に基づく期待値・分散の計算の詳細については省略した。
https://www.hello-statisticians.com/explain-books-cat/math_stat_practice_ch2.html#212
一方で上記で取り扱った対数正規分布の期待値・分散の計算などでは正規分布のモーメント母関数の導出と同様に指数の内部の平方完成を行う考え方を用いるので、当記事では正規分布のモーメント母関数の導出に基づく正規分布の期待値・分散の計算について取り扱うこととした。

正規分布のモーメント母関数の導出

正規分布の確率密度関数の$f(x)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left\{ -\frac{(x – \mu)^2}{2 \sigma^2} \right\}
\end{align}
$$
上記に対し、モーメント母関数$m(t) = E[e^{tX}]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
m(t) &= E \left[ e^{tX} \right] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \exp \{tx\} f(x) dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \exp \{tx\} \times \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left\{ -\frac{(x – \mu)^2}{2 \sigma^2} \right\} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – \mu)^2}{2 \sigma^2} + tx \right\} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – \mu)^2 – 2 \sigma^2 tx}{2 \sigma^2} \right\} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{x^2 – 2 \mu x + \mu^2 – 2 \sigma^2 tx}{2 \sigma^2} \right\} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{x^2 – 2(\mu+\sigma^2 t)x + \mu^2}{2 \sigma^2} \right\} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu + \sigma^2 t))^2 + \mu^2 – (\mu+\sigma^2 t)^2}{2 \sigma^2} \right\} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu+\sigma^2 t))^2 + \mu^2 – \mu^2 – 2 \mu \sigma^2 t – \sigma^4 t^2)}{2 \sigma^2} \right\} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu+\sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2} + \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} dx \\
&= \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu+\sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2} \right\} dx
\end{align}
$$

ここで上記において、$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu+\sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2} \right\} dx$は平均$\mu+\sigma^2 t$、分散$\sigma^2$の正規分布$N(\mu+\sigma^2 t, \sigma^2)$の全区間での積分なので、確率密度関数の定義より$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu+\sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2} \right\} dx = 1$が成立する。

よって、モーメント母関数$m(t)$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
m(t) &= \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(x – (\mu+\sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2} \right\} dx \\
&= \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} \times 1 \\
&= \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\}
\end{align}
$$

また、途中で正規分布の確率密度関数の全区間での積分が$1$であることを用いたが、このことはガウス積分の考え方を用いることで導出できる。ガウス積分については下記で詳しくまとめたので、ここでは省略する。
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/gaussian_integral1.html

期待値・分散の計算

期待値$E[X]$の計算

期待値$E[X]$はモーメント母関数の微分の$m'(t)$を用いて$E[X]=m'(0)$のように計算できる。まずは$m'(t)$を計算する。
$$
\large
\begin{align}
m'(t) &= \left( \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} \right)’ \\
&= \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} \times \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)’ \\
&= (\mu + \sigma^2 t) \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\}
\end{align}
$$

よって、$E[X]=m'(0)$は下記のように求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) \\
&= (\mu + \sigma^2 \cdot 0) \exp \left\{ \mu \cdot 0 + \frac{\sigma^2 \cdot 0^2}{2} \right\} \\
&= \mu
\end{align}
$$

分散$V[X]$の計算

分散$V[X]$はモーメント母関数の微分の$m'(t), m^{”}(t)$を用いて$V[X]=m^{”}(0)-(m'(0))^2$のように計算できる。$m'(t)$は前項で求めたので$m^{”}(t)$を計算する。
$$
\large
\begin{align}
m^{”}(t) &= \left( (\mu + \sigma^2 t) \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\} \right)’ \\
&= (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2) \exp \left\{ \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right\}
\end{align}
$$

よって、$V[X]=m^{”}(0) – (m'(0))^2$は下記のように求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= m^{”}(0) – (m'(0))^2 \\
&= (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 \cdot 0)^2) \exp \left\{ \mu \cdot 0 + \frac{\sigma^2 \cdot 0^2}{2} \right\} – \mu^2 \\
&= (\sigma^2 + (\mu)^2) \exp { 0 + 0 } – \mu^2 \\
&= \sigma^2 + \mu^2 – \mu^2 \\
&= \sigma^2
\end{align}
$$