ガウス積分(Gaussian integral)の導出と標準正規分布の規格化

正規分布の規格化など、様々なところでガウス積分(Gaussian integral)は利用される。一方で、書籍などでは導出が省略されることも多いので、当記事ではガウス積分の導出について取り扱う。
また、ガウス積分の活用例の確認にあたって、標準正規分布の規格化についても取り扱う。

ガウス積分の導出

概要

Wikipediaの記載を参考にする。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ガウス積分
ガウス積分は関数$e^{-x^2}$を実数全体で積分した際に$\sqrt{\pi}$に一致することを表し、これは数学者のガウスに由来する。ガウス積分を数式で表現すると下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\end{align}
$$

導出の方針

$$
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\begin{align}
I &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \\
I^2 &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)^2 \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} dx dy \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy
\end{align}
$$
上記のように積分値$I$とその二乗$I^2$を定義し、$I^2$について計算することを考える。

ここで$(x,y)$を$(r,\theta)$で表すことを考える。それぞれの変数の関係式は下記のようになる。
$$
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\begin{align}
x &= r \cos{\theta} \\
y &= r \sin{\theta}
\end{align}
$$
また、$-\infty<x<\infty, \infty<y<\infty$に対応する$r, \theta$はそれぞれ$0 \leq r < \infty, 0 \leq \theta \leq 2 \pi$である。
この関係式に基づいて、$I^2$を求めることを考える。

置換積分

$$
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\begin{align}
x &= r \cos{\theta} \\
y &= r \sin{\theta}
\end{align}
$$
上記に基づいて$I^2$に対し置換積分を行うことを考える。$f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$を$g(r,\theta)$のように変換したと考えると、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
I^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx dy \\
&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} g(r,\theta) dr d \theta
\end{align}
$$
ここで$g(r,\theta)$は下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
g(r,\theta) &= f(x,y)\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\
&= f(x,y)\left| \begin{array}{cc} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -r\sin{\theta} & r\cos{\theta} \end{array} \right| \\
&= (r \cos^2{\theta} – (-r \sin^2{\theta})f(x,y) \\
&= r f(r \cos{\theta}, r \sin{\theta})
\end{align}
$$

よって、$I^2$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
I^2 &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} g(r,\theta) dr d \theta \\
&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} r f(r \cos{\theta}, r \sin{\theta}) dr d \theta \\
&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-(r^2 \cos{\theta} + r^2\sin^2{\theta})} dr d \theta \\
&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-r^2} dr d \theta \\
&= 2 \pi \int_{0}^{\infty} r e^{-r^2} dr \\
&= 2 \pi \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_{0}^{\infty} \\
&= 2 \pi \times \frac{1}{2} \\
&= \pi
\end{align}
$$
上記より、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\end{align}
$$

標準正規分布の規格化

標準正規分布$\mathcal{N}(0,1)$の確率密度関数$f(x)$を定数$C$を用いて下記のように表すことができると考える。
$$
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\begin{align}
f(x) = C e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{align}
$$
この時確率密度関数の定義より、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
\end{align}
$$

「ガウス積分の導出」で取り扱ったのと同様に$x,y,r,\theta,I,I^2$を考えると、$I^2$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
I^2 &= 2 \pi C^2 \int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{r^2}{2}} dr \\
&= 2 \pi C^2 \left[ -e^{-\frac{r^2}{2}} \right]_{0}^{\infty} \\
&= 2 \pi C^2
\end{align}
$$
上記において$I^2=1$より、$2 \pi C^2=1$となる。よって、規格化定数の$C$は下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
2 \pi C^2 &= 1 \\
C^2 &= \frac{1}{2 \pi} \\
C &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\end{align}
$$