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線形写像(linear mapping)を取り扱う際に、全単射と逆写像(inverse mapping)は重要なトピックです。当記事では全単射を構成する単射・全射や逆写像に関して、概要の取りまとめや演習を通した具体例の確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6.1$節「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

線形写像の概要

単射

任意の$x \in X, \, x’ \in X$に対し『$x \neq x’ \implies f(x) \neq f(x’)$』が成立するとき、写像$f: X \longrightarrow Y$は単射である。単射は『$1$対$1$の写像である』と解釈すれば良い。

全射

任意の$y \in Y$に対し、$y=f(x)$となる$x \in X$が少なくとも$1$つ存在するとき、写像$f: X \longrightarrow Y$は全射である。全射は「$Y$のいかなる要素も$X$のなんらかの要素の像であること」や「写像$f$の値域と終域が一致する」のように言い換えることもできる。

全単射と逆写像

写像$f: X \longrightarrow Y$が単射かつ全射であるとき、写像$f$は全単射である。『写像$f$が全単射である $\iff$ 写像$f$が逆写像を持つ』が成立する。関数$y=f(x)=x+1$のような逆関数を持つ関数を元に直感的に理解しておくとよく、写像$f$が全単射であるときは$X$の要素$x \in X$と$Y$の要素$y \in Y$がそれぞれ$1$対$1$対応する。

また、写像$f: X \longrightarrow Y$と$g: Y \longrightarrow X$について下記が成立するとき写像$g$は写像$f$の逆写像$f^{-1}$である。
$$
\large
\begin{align}
g \circ f &= \mathrm{id}_{X} \\
f \circ g &= \mathrm{id}_{Y}
\end{align}
$$

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$104$

基本例題$105$

基本例題$106$

写像$g: Y \longrightarrow X$が写像$f: X \longrightarrow Y$の逆写像であるとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
g \circ f &= \mathrm{id}_{X} \\
f \circ g &= \mathrm{id}_{Y}
\end{align}
$$

上記より写像$f: X \longrightarrow Y$は写像$g: Y \longrightarrow X$の逆写像である。

線形写像(linear mapping)は関数を一般化した概念であり、線形代数の主要なトピックの一つです。当記事では線形写像の定義・判定や行列写像の取得について、概要の取りまとめや演習を通した具体例の確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6.1$節「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

線形写像の概要

線形写像の定義

$K$上のベクトル空間$V, W$における写像$f: V \to W$に関して下記が成立するとき、写像$f$は$K$上の線形写像である。
$[1] \,$ 任意の$\mathbf{v}_1 \in V, \, \mathbf{v}_2 \in V$に対して$f(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) = f(\mathbf{v}_1) + f(\mathbf{v}_2)$
$[2] \,$ 任意の$\mathbf{v} \in V, \, a \in K$に対して$f(a \mathbf{v}) = a f(\mathbf{v})$

上記の$K$は基本的には実数体$\mathbb{R}$もしくは複素数体$\mathbb{C}$に対応し、$[2]$では任意のスカラー$a$を表すにあたって用いた。

線形写像であるかの判定

線形写像であるかの判定にあたっては前項「線形写像の定義」の$[1]$と$[2]$が成立するかを確認すれば良い。

行列写像

$n$次元数ベクトル空間$K^{n}$から$m$次元数ベクトル空間$K^{m}$への写像$f_{A}:K^{n} \to K^{m}$を$f_{A}(\mathbf{v})=A\mathbf{v}, \, \mathbf{v} \in K^{n}$で定義できるとき、$f_{A}$は「行列写像」である。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$107$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = -3x
\end{align}
$$

$x_1 \in \mathbb{R}, x_2 \in \mathbb{R}$に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1 + x_2) &= -3(x_1 + x_2) \\
&= -3x_1 – 3x_2 \\
&= f(x_1) + f(x_2)
\end{align}
$$

また、$x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(ax) &= -3ax \\
&= a \cdot -3x \\
&= a f(x)
\end{align}
$$

上記より写像$f$は線形写像である。

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = x+1
\end{align}
$$

$x_1=1, x_2=1$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1+x_2) &= f(1+1) = (1+1) + 1 = 3 \\
f(x_1) + f(x_2) &= f(1) + f(1) = 1+1 + 1+1 = 4
\end{align}
$$

上記より$x_1=1, x_2=1$のとき$f(x_1+x_2) \neq f(x_1)+f(x_2)$であるので、写像$f$は線形写像ではない。

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = x^2
\end{align}
$$

$x_1=1, x_2=1$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1+x_2) &= f(1+1) = (1+1)^2 = 4 \\
f(x_1) + f(x_2) &= f(1) + f(1) = 1^2 + 1^2 = 2
\end{align}
$$

上記より$x_1=1, x_2=1$のとき$f(x_1+x_2) \neq f(x_1)+f(x_2)$であるので、写像$f$は線形写像ではない。

$[4]$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = 2^{x}
\end{align}
$$

$x_1=0, x_2=0$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1+x_2) &= f(0+0) = 2^{0} = 1 \\
f(x_1) + f(x_2) &= f(1) + f(1) = 2^0 + 2^0 = 2
\end{align}
$$

上記より$x_1=0, x_2=0$のとき$f(x_1+x_2) \neq f(x_1)+f(x_2)$であるので、写像$f$は線形写像ではない。

・参考
この問題における写像は$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$のように表せる。

基本例題$108$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} x+2y \\ y \end{array} \right]
\end{align}
$$

$\displaystyle \mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}, x_2 = \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}$に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{array} \right] \right) \\
&= \left[ \begin{array}{c} (x_1+x_2)+2(y_1+y_2) \\ y_1+y_2 \end{array} \right] \\
&= \left[ \begin{array}{c} x_1+2y_1 \\ y_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} x_2+2y_2 \\ y_2 \end{array} \right] = f(\mathbf{v}_1) + f(\mathbf{v}_2)
\end{align}
$$

また、$\mathbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}, a \in \mathbb{R}$に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(a \mathbf{v}) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} a x \\ a y \end{array} \right] \right) \\
&= \left[ \begin{array}{c} ax+2ay \\ ay \end{array} \right] \\
&= a \left[ \begin{array}{c} x+2y \\ y \end{array} \right] = a f(\mathbf{v})
\end{align}
$$

上記より写像$f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$は線形写像である。

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 2x+1 \\ 2x \end{array} \right]
\end{align}
$$

$x_1=1, x_2=1$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] \right) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} 1+1 \\ y_1+y_2 \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 2 \cdot 2 + 1 \\ 2 \cdot 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right] \\
f \left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] \right) + f \left( \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] \right) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ y_1 \end{array} \right] \right) + f \left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ y_2 \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 2 \cdot 1 + 1 \\ 2 \cdot 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 2 \cdot 1 + 1 \\ 2 \cdot 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より$x_1=1, x_2=1$のとき$\displaystyle f \left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] \right) \neq f \left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] \right) + f \left( \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] \right)$であるので、写像$f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$は線形写像ではない。

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ x \end{array} \right]
\end{align}
$$

$x=1$のとき、$a \in \mathbb{R}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f \left( a \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} ax \\ ay \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ ax \end{array} \right] \\
af \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) &= a \left[ \begin{array}{c} 1 \\ x \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a \\ ax \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より$x=1$のとき$\displaystyle f \left( a \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) \neq a f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right)$であるので、写像$f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$は線形写像ではない。

$[4]$
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right]
\end{align}
$$

$\displaystyle \mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}, x_2 = \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}$に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{array} \right] \right) \\
&= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y_1+y_2 \end{array} \right] \\
&= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y_2 \end{array} \right] = f(\mathbf{v}_1) + f(\mathbf{v}_2)
\end{align}
$$

また、$\mathbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}, a \in \mathbb{R}$に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(a \mathbf{v}) &= f \left( \left[ \begin{array}{c} a x \\ a y \end{array} \right] \right) \\
&= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ ay \end{array} \right] \\
&= a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right] = a f(\mathbf{v})
\end{align}
$$

上記より写像$f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$は線形写像である。

基本例題$111$

前項で取り扱った基本例題$108$の解答より、線形写像は$[1], [4]$であるので、以下では$[1]$と$[4]$の行列写像に対応する$2$次正方行列$A$を表す。

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} x+2y \\ y \end{array} \right]
\end{align}
$$

写像$f$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{c} x+2y \\ y \end{array} \right] \\
&= \left[ \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]
\end{align}
$$

よって行列写像に対応する$2$次正方行列$A$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
A = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$

$[4]$
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right]
\end{align}
$$

写像$f$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right] \\
&= \left[ \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]
\end{align}
$$

よって行列写像に対応する$2$次正方行列$A$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
A = \left[ \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$

当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$4$の「極限」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

本章のまとめ

演習問題解答

問題$4.1$

・$[1]$
ロピタルの定理に基づいて下記のように導出を行える。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0+0} \frac{\log{(1+x)}}{x} &= \lim_{x \to 0+0} \frac{1/(1+x)}{1} \\
&= \frac{1}{1+0} = 1
\end{align}
$$

・$[2]$
ロピタルの定理に基づいて下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0+0} \frac{e^{x}-(1+x)}{x^2} &= \lim_{x \to 0+0} \frac{e^{x}-1}{2x} \\
&= \lim_{x \to 0+0} \frac{e^{x}}{2} \\
&= \frac{e^{0}}{2} = \frac{1}{2}
\end{align}
$$

問題$4.2$