「データサイエンス 数学ストラテジスト 上級」はデータサイエンスの基盤である、確率・統計、線形代数、微積分、機械学習、プログラミングなどを取り扱う資格試験です。当記事では「日本数学検定協会」作成の「公式問題集」の演習問題$21$〜$30$の解答例を取り扱いました。
・数学検定まとめ
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Contents
演習問題
Q.21
$$
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\begin{align}
AB = 8, \, BC = 5, \, \angle{ABC} = 60^{\circ}
\end{align}
$$
余弦定理より下記が成立する。
$$
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\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2} + BC^{2} – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{60^{\circ}} \\
&= 8^{2} + 5^{2} – \cancel{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{\cancel{2}} \\
&= 64 + 25 – 40 = 49
\end{align}
$$
$AC>0$より$AC=7$である。また、外接円の半径が$R$なので正弦定理より下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\frac{AC}{\sin{60^{\circ}}} &= 2R \\
R &= 7 \cdot \frac{\cancel{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\cancel{2}} \\
&= \frac{7}{\sqrt{3}}
\end{align}
$$
また、$\triangle{ABC}$の面積を$S$とおくと$S$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
S &= \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin{60^{\circ}} \\
&= 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \sqrt{3}
\end{align}
$$
ここで内接円の半径$r$は下記の式に基づいて得られる。
$$
\large
\begin{align}
S &= \frac{1}{2}(AB+BC+AC)r \\
10 \sqrt{3} &= \frac{1}{2}(8+5+7)r \\
r &= \sqrt{3}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \frac{R}{r}$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{R}{r} &= \frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \\
&= \frac{7}{3}
\end{align}
$$
Q.22
$p_{n}, \, n=0,1,2,3$は下記のような式で表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
p_{n} &= \frac{{}_{5} C_{n} \cdot {}_{10} C_{3-n}}{{}_{15} C_{3}} \quad [1]
\end{align}
$$
$[1]$式より、$p_0, p_1, p_2, p_3$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
p_{0} &= \frac{{}_{5} C_{0} \cdot {}_{10} C_{3}}{{}_{15} C_{3}} \\
&= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{15 \cdot 14 \cdot 13} \\
&= \frac{24}{91} \\
p_{1} &= \frac{{}_{5} C_{1} \cdot {}_{10} C_{2}}{{}_{15} C_{3}} \\
&= \frac{5 \cdot 10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{15 \cdot 14 \cdot 13} \\
&= \frac{45}{91} \\
p_{2} &= \frac{{}_{5} C_{2} \cdot {}_{10} C_{1}}{{}_{15} C_{3}} \\
&= \frac{5 \cdot 4 \cdot 10}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{15 \cdot 14 \cdot 13} \\
&= \frac{20}{91} \\
p_{3} &= \frac{{}_{5} C_{3} \cdot {}_{10} C_{0}}{{}_{15} C_{3}} \\
&= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{15 \cdot 14 \cdot 13} \\
&= \frac{2}{91}
\end{align}
$$
上記より$p_3 < p_2 < p_0 < p_1$であるので$(1)$が正しい。
・解説
この問題は超幾何分布の確率関数の計算と対応するので、合わせて抑えておくと良いです。
Q.23
$$
\large
\begin{align}
\sin{\alpha} &= \frac{1}{3}, \, \sin{\beta} = \frac{2}{3} \\
0 < & \alpha < \frac{\pi}{2}, \, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}
\end{align}
$$
上記より、$0 < \cos{\alpha}, \, 0 < \cos{\beta}$であるので、$\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1$に基づいて下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\sin^{2}{\alpha} + \cos^{2}{\alpha} &= 1 \\
\cos^{2}{\alpha} &= 1-\frac{1}{3^2} \\
\cos{\alpha} &= \frac{2\sqrt{2}}{3} \\
\sin^{2}{\beta} + \cos^{2}{\beta} &= 1 \\
\cos^{2}{\beta} &= 1-\frac{2^2}{3^2} \\
\cos{\beta} &= \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{align}
$$
よって$\sin{(\alpha+\beta)}$は加法定理に基づいて下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta} \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} \\
&= \frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}
\end{align}
$$
上記より$(5)$が正しい。
Q.24
$$
\large
\begin{align}
x^{\log_{10}{x}} = 1000 \sqrt{x} \quad [1]
\end{align}
$$
$[1]$式の両辺に対し、底が$10$の対数を取ると下記のように方程式を解くことができる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{10}{x^{\log_{10}{x}}} &= \log_{10}{(1000 \sqrt{x})} \quad [1]’ \\
\log_{10}{x} \cdot \log_{10}{x} &= \frac{1}{2} \log_{10}{x} + 3 \\
2 (\log_{10}{x})^{2} – \log_{10}{x} – 6 &= 0 \\
(2 \log_{10}{x} + 3)(\log_{10}{x} – 2) &= 0 \\
\log_{10}{x} &= -\frac{3}{2}, \, 2 \\
x &= \frac{\sqrt{10}}{100}, \, 100
\end{align}
$$
よって$(2)$が正しい。
Q.25
$a, b, c$が等比数列かつ$\displaystyle \frac{b}{a} = r$より、$b,c$は$a,r$を用いて下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
b &= ar \\
c &= ar^2
\end{align}
$$
また、$a,b,c$の相加平均が$b+2$に等しいことから下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{3}(a+b+c) &= b+2 \\
a + ar + ar^2 &= 3(ar+2) \\
a(1+r+r^2-3r) &= 6 \\
a(1-2r+r^2) &= 6 \\
a(r-1)^{2} &= 6 \quad [1]
\end{align}
$$
$[1]$式より$a$が正の整数で$\displaystyle \frac{b}{a} = r$が整数であることから、$a=6, (r-1)^{2}=1$が成立する。ここで$r \neq 0$より$r=2$が成立する。よって、与えられた式は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{a^2+a-7}{a+1} + \frac{r^2+r-1}{r+3} &= \frac{6^2+6-7}{6+1} + \frac{2^2+2-1}{2+3} \\
&= 5 + 1 = 6
\end{align}
$$
上記より$(1)$が正しい。
Q.26
面積の和$S_1+S_2$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
S_1+S_2 &= \int_{0}^{5} -(x^2-5x) dx + \int_{5}^{6} (x^2-5x) dx \\
&= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 \right]_{0}^{5} + \left[ \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 \right]_{5}^{6} \\
&= 2 \left( -\frac{125}{3}+\frac{125}{2} \right) + \frac{6^3}{3} – \frac{5 \cdot 6^2}{2} \\
&= 2 \cdot \frac{125}{6} + 72 – 90 \\
&= \frac{125 – 3 \cdot 18}{3} \\
&= \frac{71}{3}
\end{align}
$$
上記より$(2)$が正しい。
Q.27
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\
f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c
\end{align}
$$
$x=-2$のとき極大値$15$、$x=4$のとき極小値$-12$を取るには下記の必要条件が成立しなければならない。
$$
\large
\begin{align}
f'(-2) &= 12a – 4b + c = 0 \quad [1] \\
f(-2) &= -8a + 4b – 2c + d = 15 \quad [2] \\
f'(4) &= 48a + 8b + c = 0 \quad [3] \\
f(4) &= 64a + 16b + 4c + d = -12 \quad [4]
\end{align}
$$
$[2]-[1]$より下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
36a + 12b &= 0 \\
b &= -3a \quad [5]
\end{align}
$$
$[5]$式を$[1]$に代入することで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
12a – 4 \cdot (-3a) + c &= 0 \quad [1]’ \\
c &= -24a \quad [6]
\end{align}
$$
$[4]-[2]$より下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
72a + 12b + 6c = -27 \quad [7]
\end{align}
$$
$[7]$式に$[5], [6]$を代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
72a + 12 \cdot (-3a) + 6 \cdot (-24a) &= -27 \quad [7]’ \\
-108a &= -27 \\
a &= \frac{1}{4} \quad [8]
\end{align}
$$
$[8]$を$[5], [6]$に代入することで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
b &= -\frac{3}{4} \quad [9] \\
c &= -6 \quad [10]
\end{align}
$$
また、$[8], [9], [10]$を$[2]$に代入することで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
-8 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) – 2 \cdot (-6) + d &= 15 \quad [2]’ \\
-2 – 3 + 12 + d &= 15 \\
d &= 8 \quad [11]
\end{align}
$$
$[8], [9], [10], [11]$より$a+b+c+d$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
a + b + c + d &= \frac{1}{4} – \frac{3}{4} – 6 + 8 \\
&= -\frac{1}{2} + 2 \\
&= \frac{3}{2}
\end{align}
$$
上記より$(2)$が正しい。
Q.28
$\displaystyle X \sim \mathrm{Bin} \left( 10n, \frac{1}{2} \right)$であるので、$m=E[X], \sigma=\sqrt{V[X]}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
m &= E[X] \\
&= 10n \cdot \frac{1}{2} \\
&= 5n \\
\sigma &= \sqrt{V[X]} \\
&= \sqrt{10n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\
&= \frac{\sqrt{10n}}{2}
\end{align}
$$
上記より$(5)$が正しい。
・解説
二項分布の期待値$E[X]$と分散$V[X]$の式と導出は下記で取り扱ったので、合わせて抑えておくと良いです。
Q.29
・$0 \leq x \leq 1$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = a(x-x^{2}) \quad [1]
\end{align}
$$
・$x < 0, 1 < x$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = 0 \quad [2]
\end{align}
$$
$[1], [2]$式と確率密度関数の定義より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} f(x) dx &= 1 \\
a \int_{0}^{1} (x-x^{2}) dx &= 1 \\
a \left[ \frac{1}{2}x^{2} – \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1} &= 1 \\
a \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) &= 1 \\
a &= 6
\end{align}
$$
また、$E[X], E[X^{2}]$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \int_{0}^{1} x f(x) dx = \int_{0}^{1} (x^{2}-x^{3}) dx \\
&= 6 \left[ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4} \right]{0}^{1} \\
&= 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2} E[X^{2}] \\
&= \int_{0}^{1} x^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} (x^{3}-x^{4}) dx \\
&= 6 \left[ \frac{1}{4}x^{3} – \frac{1}{5}x^{4}) \right]_{0}^{1} \\
&= 6 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{10}
\end{align}
$$
よって分散$V[X]=E[X^{2}]-E[X]^{2}$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^{2}] – E[X]^{2} \\
&= \frac{3}{10} – \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \\
&= \frac{6-5}{20} = \frac{1}{20}
\end{align}
$$
よって$(2)$が正しい。
Q.30
$$
\large
\begin{align}
\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right), \, \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ベクトル$\vec{p}=k\vec{a}+\vec{b}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\vec{p} &= k \vec{a} + \vec{b} = k \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 2k-1 \\ -k+3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$|\vec{p}|$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
|\vec{p}| &= \sqrt{(2k-1)^{2} + (-k+3)^{2}} \\
&= \sqrt{(4k^{2}-4k+1) + (k^{2}-6k+9)} \\
&= \sqrt{5k^{2} – 10k + 10} \\
&= \sqrt{5(k^{2}-2k+1) + 5} \\
&= \sqrt{5(k-1)^{2} + 5}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle -1 \leq k \frac{3}{2}$であるので、$|\vec{p}|$は$k=1$のとき最小値$\sqrt{5}$を取る。よって$m^{2}=5$であるので$(3)$が正しい。