確率変数の和や差に関する分散の計算は二項分布、負の二項分布、超幾何分布を考える際や$2$標本の差の検定など、統計学ではよく出てきます。一方で、分散の計算にあたっては$X$と$Y$の相関を考慮する必要があり難しいので当記事では分散$V[X+Y]$に関する公式やその導出について取り扱いました。
「現代数理統計学(学術図書出版社)」の$3$章「多次元の確率変数」の解説や演習などを参考に作成を行いました。
・$3$章演習の解答例：現代数理統計学
https://www.hello-statisticians.com/explain-books-cat/math_stat_practice_ch3.html
公式
V[X+Y]の取り扱い
確率変数$X$と$Y$の和$X+Y$の分散$V[X+Y]$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2 \mathrm{Cov}(X,Y)
\end{align}
$$
$X,Y$が独立である場合は$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$であるので、$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$が成立する。$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$の式に関しては下記でも取り扱った。
V[X-Y]の取り扱い
確率変数$X$と$Y$の差$X-Y$の分散$V[X-Y]$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
V[X-Y] = V[X] + V[Y] – 2 \mathrm{Cov}(X,Y)
\end{align}
$$
$V[a_1 X_1 + \cdots + a_nX_n]$の取り扱い
確率変数$X_1, \cdots , X_n$の線形和$a_1 X_1 + \cdots + a_nX_n$の分散$V[a_1 X_1 + \cdots + a_nX_n]$は下記に基づいて計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V[a_1 X_1 + \cdots + a_nX_n] = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 V[X_i] + 2 \sum_{i<j} a_ia_j \mathrm{Cov}(X_i,X_j)
\end{align}
$$
式の導出
$V[X+Y]=V[X] + V[Y] + 2 \mathrm{Cov}(X,Y)$
$E[X+Y]=E[X]+E[Y], V[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2$などが成立することに基づいて下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
V[X+Y] &= E[((X+Y)-E[X+Y])^2] \\
&= E[(X + Y – E[X] – E[Y])^2] \\
&= E[(X^2 + Y^2 + E[X]^2 + E[Y]^2 + 2XY – 2XE[X] \\
& – 2YE[Y] – 2XE[Y] – 2YE[X] + 2E[X]E[Y])] \\
&= E[X^2] – E[X]^2 + E[Y^2] – E[Y]^2 + 2E[XY] – 2E[X]E[Y] \\
&= V[X] + V[Y] + 2 \mathrm{Cov}(X,Y)
\end{align}
$$
$V[X-Y] = V[X] + V[Y] – 2 \mathrm{Cov}(X,Y)$
$E[X+Y]=E[X]+E[Y], V[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2$などが成立することに基づいて下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
V[X+Y] &= E[((X-Y)-E[X-Y])^2] \\
&= E[(X – Y – E[X] + E[Y])^2] \\
&= E[(X^2 + Y^2 + E[X]^2 + E[Y]^2 – 2XY – 2XE[X] \\
& – 2YE[Y] + 2XE[Y] + 2YE[X] – 2E[X]E[Y])] \\
&= E[X^2] – E[X]^2 + E[Y^2] – E[Y]^2 – 2E[XY] + 2E[X]E[Y] \\
&= V[X] + V[Y] + 2 \mathrm{Cov}(X,Y)
\end{align}
$$
$\displaystyle V[a_1 X_1 + \cdots + a_nX_n] = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 V[X_i] + 2 \sum_{i<j} a_ia_j \mathrm{Cov}(X_i,X_j)$
$Z = a_1 X_1 + \cdots + a_nX_n$と定義し、$V[Z]=E[(Z-E[Z])^2]$を計算することで導出できる。詳しい導出は下記で取り扱った。
[…] 確率変数の和X+Yの分散V[X+Y]などに関する公式とその導出 […]
[…] 抑えておきたい公式とその簡易的な導出に関して（期待値と分散・共分散） 確率変数の和X+Yの分散V[X+Y]などに関する公式とその導出 […]