統計検定準1級 問題解説 ~2018年6月実施 問13 メトロポリス・ヘイスティングス法~

解答

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述8}\ }$ :

目標分布の確率密度関数$\pi(y), \pi(x^{(t)})$を標準密度関数$\phi(x)$を用いて表せばよい。正規分布$N(0,1)$と$N(6,1)$の確率密度関数はそれぞれ$\phi(x), \phi(x-6)$のように表されるので、採択確率$\alpha(x^{(t)},y)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\alpha(x^{(t)},y) = \min \left( 1 , \frac{\frac{1}{4}\phi(y)+\frac{3}{4}\phi(y-6)}{\frac{1}{4}\phi(x^{(t)})+\frac{3}{4}\phi(x^{(t)}-6)} \right)
\end{align}
$$

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述9}\ }$ :

ステップ幅が小さいほど山の移行が起こりにくく、どちらかの山に偏った結果になりやすい。このことからア)が$a=1$、イ)が$a=6$、ウ)が$a=0.1$であることを読み取ることができる。

[3] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述10}\ }$ :

繰り返し回数の少ない段階では結果が初期値に依存することから一定程度計算が終了した後からサンプリングを行う。

解説

全体的にMCMCの基本がわかっていれば解けますが、$[1]$は問題文をよく確認しないと解答できないので$[2]$や$[3]$と比べると難しいと思われました。試験中だとこのように$[1]$が難しい場合も$[2]$や$[3]$の方が簡単な場合もあるので、全体を見て解くようにすると良いと思います。