Ch.3 「代表的な確率分布」の章末問題の解答例　〜現代数理統計学の基礎(共立出版)〜

当記事は「現代数理統計学の基礎(共立出版)」の読解サポートにあたってChapter.3の「代表的な確率分布」の章末問題の解説について行います。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math_stat#basic

章末の演習問題について

問題3.1の解答例

問題3.2の解答例

問題3.3の解答例

問題3.4の解答例

問題3.5の解答例

問題3.6の解答例

問題3.7の解答例

問題3.8の解答例

問題3.9の解答例

問題3.10の解答例

問題3.11の解答例

$$
\large
\begin{align}
f(x|\alpha,\beta) = \frac{\beta \alpha^{\beta}}{x^{\beta+1}}, \quad \alpha<x, \, \alpha>0, \, \beta>0
\end{align}
$$

$\beta > 1$のとき$E[X]$は下記のように計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \int_{\alpha}^{\infty} x f(x) dx \\
&= \int_{\alpha}^{\infty} x \cdot \frac{\beta \alpha^{\beta}}{x^{\beta+1}} dx \\
&= \int_{\alpha}^{\infty} \frac{\beta \alpha^{\beta}}{x^{\beta}} dx \\
&= \left[ -\frac{\beta \alpha^{\beta}}{\beta-1} \cdot \frac{1}{x^{\beta-1}} \right]_{\alpha}^{\infty} \\
&= \frac{\beta \alpha^{\beta}}{\beta-1} \cdot \frac{1}{\alpha^{\beta-1}} \\
&= \frac{\beta \alpha}{\beta-1}
\end{align}
$$

同様に$\beta > 2$のとき$E[X^2]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X^2] &= \int_{\alpha}^{\infty} x^2 f(x) dx \\
&= \int_{\alpha}^{\infty} \frac{\beta \alpha^{\beta}}{x^{\beta-1}} dx \\
&= \left[ -\frac{\beta \alpha^{\beta}}{\beta-2} \cdot \frac{1}{x^{\beta-2}} \right]_{\alpha}^{\infty} \\
&= \frac{\beta \alpha^{\beta}}{\beta-2} \cdot \frac{1}{\alpha^{\beta-2}} \\
&= \frac{\beta \alpha^2}{\beta-2}
\end{align}
$$

よって分散$V[X]$は$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$を用いて下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= \frac{\beta \alpha^2}{\beta-2} – \frac{\beta^2 \alpha^2}{(\beta-1)^2} \\
&= \frac{\beta \alpha^2}{(\beta-1)^2(\beta-2)} [ (\beta-1)^2 – \beta(\beta-2) ] \\
&= \frac{\beta \alpha^2}{(\beta-1)^2(\beta-2)} [ (\beta^2 – 2\beta + 1) – (\beta^2 – 2\beta) ] \\
&= \frac{\beta \alpha^2}{(\beta-1)^2(\beta-2)}
\end{align}
$$

問題3.12の解答例

問題3.13の解答例

問題3.14の解答例

問題3.15の解答例

問題3.16の解答例

問題3.17の解答例

問題3.18の解答例

問題3.19の解答例

問題3.20の解答例

問題3.21の解答例

問題3.22の解答例

まとめ