曲線$y=f(x)$に関する接線と同様に、関数$z=f(x,y)$のように表される曲面に対して接平面(tangent plane)の方程式を考えることがあります。当記事では接平面(tangent plane)の方程式に関する公式とその使用例に関して確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$6$章「微分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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接平面(tangent plane)の方程式の公式
関数$z=f(x,y)$で表される曲面上の点$(a,b)$における接平面の方程式は下記のように与えられる。
$$
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\begin{align}
z &= f(a,b) + f_{x}(a,b)(x-a) + f_{y}(y-b) \\
f_{x}(a,b) &= \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Bigr|_{x=a,y=b} \\
f_{y}(a,b) &= \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Bigr|_{x=a,y=b}
\end{align}
$$
接平面の方程式の公式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$109$
$f(x,y) = \sin{(x^2+y^2)}$より、偏微分$f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$はそれぞれ下記のように導出できる。
$$
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\begin{align}
f_{x}(x,y) &= \cos{(x^2+y^2)} \cdot 2x = 2x \cos{(x^2+y^2)} \\
f_{y}(x,y) &= \cos{(x^2+y^2)} \cdot 2y = 2y \cos{(x^2+y^2)}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle f_{x} \left( \sqrt{\frac{\pi}{6}},\sqrt{\frac{\pi}{6}} \right), f_{y} \left( \sqrt{\frac{\pi}{6}},\sqrt{\frac{\pi}{6}} \right)$はそれぞれ下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
f_{x} \left( \sqrt{\frac{\pi}{6}},\sqrt{\frac{\pi}{6}} \right) &= 2 \sqrt{\frac{\pi}{6}} \cos{\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right)} \\
&= 2 \sqrt{\frac{\pi}{6}} \cos{\frac{\pi}{3}} \\
&= \sqrt{\frac{\pi}{6}} \\
f_{y} \left( \sqrt{\frac{\pi}{6}},\sqrt{\frac{\pi}{6}} \right) &= 2 \sqrt{\frac{\pi}{6}} \cos{\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right)} \\
&= 2 \sqrt{\frac{\pi}{6}} \cos{\frac{\pi}{3}} \\
&= \sqrt{\frac{\pi}{6}}
\end{align}
$$
したがって$(a,b)$における$f(x,y)=\sin{(x^2+y^2)}$に対する接平面の方程式は下記のように表される。
$$
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\begin{align}
& z = f(a,b) + f_{x}(a,b)(x-a) + f_{y}(y-b) \\
&= \sin{\left( \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6} \right)} + \sqrt{\frac{\pi}{6}} \left( x – \sqrt{\frac{\pi}{6}} \right) + \sqrt{\frac{\pi}{6}} \left( y – \sqrt{\frac{\pi}{6}} \right) \\
&= \sqrt{\frac{\pi}{6}}x + \sqrt{\frac{\pi}{6}}y – \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
$$
基本例題$110$
重要例題$063$
$z=f(x,y)=x^2+y^3$とおく。このとき$f(1,2)=1^2+2^3=9$が成立することから$(x,y,z)=(1,2,9)$は曲面$z=f(x,y)=x^2+y^3$上の点であることができる。また、偏微分$f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
f_{x}(x,y) &= 2x \\
f_{y}(x,y) &= 3y^2
\end{align}
$$
よって$f_{x}(1,2), f_{y}(1,2)$はそれぞれ下記のような値を持つ。
$$
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\begin{align}
f_{x}(1,2) &= 2 \cdot 1 = 2 \\
f_{y}(x,y) &= 3 \cdot 2^2 = 12
\end{align}
$$
したがって$(x,y,z)=(1,2,9)$における接平面の方程式は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
z &= f(1,2) + f_{x}(1,2)(x-1) + f_{y}(y-2) \\
&= 9 + 3(x-1) + 12(y-2) \\
&= 2x + 12y – 17
\end{align}
$$