$2$次の偏導関数(Partial derivative)は偏微分を$2$度行なった関数であり、ヘッセ行列(Hessian matrix)を考える際などに用いられます。$2$つ以上の変数がある場合は組み合わせを考える必要があるなどやや複雑なので、当記事では$2$次の偏導関数の計算の流れと具体的な計算例の確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$6$章「微分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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$2$次の偏導関数の計算
$f(x,y)$に関する$1$次の偏導関数$f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$と$2$次の偏導関数$f_{xx}(x,y), f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y), f_{yy}(x,y)$をそれぞれ下記のように定める。
$$
\large
\begin{align}
f_{x}(x,y) &= \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\
f_{y}(x,y) &= \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \\
f_{xx}(x,y) &= \frac{\partial f_{x}(x,y)}{\partial x} \\
f_{xy}(x,y) &= \frac{\partial f_{y}(x,y)}{\partial x} \\
f_{yx}(x,y) &= \frac{\partial f_{x}(x,y)}{\partial y} \\
f_{yy}(x,y) &= \frac{\partial f_{y}(x,y)}{\partial y}
\end{align}
$$
このとき$f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y)$がどちらも連続であれば$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$が成立する。また、$f_{xx}(x,y), f_{yy}(x,y)$は下記のように表されることもある。
$$
\large
\begin{align}
f_{xx}(x,y) &= \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} \\
f_{yy}(x,y) &= \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}
\end{align}
$$
$2$次の偏導関数の計算の具体例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$114$
・$(1)$
$$
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\begin{align}
f(x,y) = x^4 – 3x^2y^2 – 2xy^3 + 4y^4
\end{align}
$$
上記のように定めた$f(x,y)$に関して以下、偏導関数の導出を行う。始めに$1$次の偏導関数の$f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
f_{x}(x,y) &= 4x^3 – 6xy^2 – 2y^3 \\
f_{y}(x,y) &= – 6x^2y – 6xy^2 + 16y^3
\end{align}
$$
次に$2$次の偏導関数の$f_{xx}(x,y), f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y), f_{yy}(x,y)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f_{xx}(x,y) &= \frac{\partial f_{x}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4x^3 – 6xy^2 – 2y^3) \\
&= 12x^2 – 6y^2 \\
f_{xy}(x,y) &= \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (- 6x^2y – 6xy^2 + 16y^3) \\
&= -12xy – 6y^2 \\
f_{yx}(x,y) &= \frac{\partial f_{x}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4x^3 – 6xy^2 – 2y^3) \\
&= – 12xy – 6y^2 \\
f_{yy}(x,y) &= \frac{\partial f_{y}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (- 6x^2y – 6xy^2 + 16y^3) \\
&= – 6x^2 – 12xy + 48y^2
\end{align}
$$
また、上記では$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$が成立することも確認できる。
・$(2)$
$$
\large
\begin{align}
f(x,y) = \tan{(x-y)}
\end{align}
$$
上記でまとめた導出より、$\displaystyle (\tan{x})’ = \frac{1}{\cos^2{x}}$が成立するので、この式を元に偏導関数$f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f_{x}(x,y) &= \frac{1}{\cos^2{(x-y)}} \\
f_{y}(x,y) &= -\frac{1}{\cos^2{(x-y)}}
\end{align}
$$
次に$2$次の偏導関数の$f_{xx}(x,y), f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y), f_{yy}(x,y)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f_{xx}(x,y) &= \frac{\partial f_{x}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{\cos^2{(x-y)}} \right) \\
&= \frac{-2\cos{(x-y)} \cdot -\sin{(x-y)} }{(\cos^2{(x-y)})^2} \\
&= \frac{2 \sin{(x-y)}}{\cos^3{(x-y)}} \\
f_{xy}(x,y) &= \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( – \frac{1}{\cos^2{(x-y)}} \right) \\
&= -\frac{-2\cos{(x-y)} \cdot -\sin{(x-y)} }{(\cos^2{(x-y)})^2} \\
&= -\frac{2 \sin{(x-y)}}{\cos^3{(x-y)}} \\
f_{yx}(x,y) &= \frac{\partial f_{x}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{\cos^2{(x-y)}} \right) \\
&= \frac{-2\cos{(x-y)} \cdot -\sin{(x-y)} \cdot (-1)}{(\cos^2{(x-y)})^2} \\
&= – \frac{2 \sin{(x-y)}}{\cos^3{(x-y)}} \\
f_{yy}(x,y) &= \frac{\partial f_{y}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( – \frac{1}{\cos^2{(x-y)}} \right) \\
&= – \frac{-2\cos{(x-y)} \cdot -\sin{(x-y)} \cdot (-1)}{(\cos^2{(x-y)})^2} \\
&= \frac{2 \sin{(x-y)}}{\cos^3{(x-y)}}
\end{align}
$$
上記では$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$が成立することも確認できる。
重要例題$066$
・$(1)$
$$
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\begin{align}
f(x,y) = (1+xy)^2
\end{align}
$$
・$(2)$
$$
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\begin{align}
f(x,y) = \sin{(x^2+y^2)}
\end{align}
$$