関数の一般化である写像には変換・定義域・終域・像・値域など、様々な関連用語があります。当記事では写像に関する基本の確認や写像の簡単な例である恒等写像(identity mapping)の定義について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6.1$節「線形写像」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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写像・恒等写像まとめ
写像の定義
$2$つの集合$X, Y$について、$X$のどの要素にも$Y$の要素が$1$つずつ対応するとき、この対応を『集合$X$から集合$Y$への写像』といい、$f$などの記号を用いて下記のように表す。
$$
\large
\begin{align}
f: X \longrightarrow Y
\end{align}
$$
写像は関数を一般化した概念であり、関数は$f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$に対応する。
写像の関連用語
$f: X \rightarrow Y$を写像とするとき、$X$は写像$f$の定義域、$Y$は写像$f$の終域という。また、$x \in X$のとき$f(x)$を$x$の像といい、$x$が$X$上を動く時の像の全体$\{ f(x) | x \in X \}$を写像$f$の値域という。写像$f$の値域は終域$Y$の部分集合である。
また、集合$T \subset Y$について$\{ x \in X | f(x) \in T \}$を写像$f$による$T$の逆像といい、$f^{-1}(T) = \{ x \in X | f(x) \in T \}$のように表す。
・参考
集合$X$から$X$自身への写像を$X$上の変換という。
恒等写像の定義
集合$X$と要素$x \in X$に関して恒等写像$\mathrm{id}_{X}$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{id}_{X}: X \longrightarrow X, \quad x \longmapsto x
\end{align}
$$
恒等写像は恒等変換と呼ばれる場合もある。また、記号$\mathrm{id}$はidentity mapping(恒等写像)の$2$文字を取ったものである。
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$103$
$[1]$
任意の$x \in X$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{id}_{X}(x) = x
\end{align}
$$
よって下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(f \circ \mathrm{id}_{X})(x) &= f(\mathrm{id}_{X}(x)) \\
&= f(x)
\end{align}
$$
上記より$f \circ \mathrm{id}_{X} = f$が示される。
$[2]$
任意の$x \in X$について$f(x) = y \in Y$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{id}_{Y}(y) = y
\end{align}
$$
よって下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(\mathrm{id}_{Y} \circ f)(x) &= \mathrm{id}_{Y}(f(x)) \\
&= \mathrm{id}_{Y}(y) \\
&= y = f(x)
\end{align}
$$
上記より$\mathrm{id}_{Y} \circ f = f$が示される。