確率分布と特性関数には$1$対$1$の対応があり、確率密度関数からモーメント母関数の計算を行うなどと同様に母関数から確率密度関数の復元を行うことも可能です。当記事では母関数から確率密度関数を計算する式である反転公式の概要や導出の流れの確認を行います。
「数理統計学(共立出版)」の$7.1$節「反転公式」における定理$7.1$の証明を主に参考に、当記事の作成を行いました。
反転公式の概要
反転公式の式の確認
確率密度関数$f_{X}(x)$は特性関数$\phi_{X}(t)$に関して下記の反転公式が成立する。
$$
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\begin{align}
f_{X}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-itx) \phi_{X}(t) dt \quad (1.1)
\end{align}
$$
確率分布と特性関数の対応
反転公式の使用例
中心極限定理の導出にあたって、標準正規分布の特性関数を用いた。
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/clt1.html
反転公式の導出
導出の大まかな流れ
累積分布関数$F_{X}(x)$と特性関数$\phi_{X}(t)$に関して下記の$(2.1)$式が成立する。
$$
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\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-itb)-\exp(-ita)}{-it} \phi_{X}(t) dt = 2 \pi (F_{X}(b)-F_{X}(a)) \quad (2.1)
\end{align}
$$
ここで$(2.1)$式に$a=x, b=x+h$を代入し、両辺を$2 \pi h$で割ると下記の式が得られる。
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\begin{align}
\frac{F_{X}(x+h)-F_{X}(x)}{h} &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-it(x+h))-\exp(-itx)}{-ith} \phi_{X}(t) dt
\end{align}
$$
このとき$h \to 0$を考えると左辺が確率密度関数$f_{X}(x)$に一致することから以下が得られる。
$$
\begin{align}
f_{X}(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{F_{X}(x+h)-F_{X}(x)}{h} = \frac{1}{2 \pi} \lim_{h \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-it(x+h))-\exp(-itx)}{-ith} \phi_{X}(t) dt \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \lim_{h \to 0} \frac{\exp(c(x+h))-\exp(cx)}{ch} \phi_{X}(t) dt, \, c = -it \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{c} (e^{cx})’ \phi_{X}(t) dt \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{c}{c} e^{cx} \phi_{X}(t) dt \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-itx) \phi_{X}(t) dt \quad (1.1)
\end{align}
$$
$(2.1)$式の導出に関しては複雑なのでここでは省略を行ったが、「数理統計学(共立出版)」の$7.1$節が詳しいので合わせて参照すると良い。