「統計学実践ワークブック」 演習問題etc Ch.11 「正規分布に関する検定」

当記事は「統計学実践ワークブック(学術図書出版社)」の読解サポートにあたってChapter.11の「正規分布に関する検定」に関して演習問題を中心に解説を行います。正規分布を用いた検定はよく用いられる手法なので、演習を通して抑えておくと良いと思われました。

本章のまとめ

演習問題解説

問11.1

$[1]$
検定統計量は下記を実行することで計算できる。

import numpy as np

t_stat = (125.-120.)/(10./np.sqrt(10))

print("T-statistic: {:.3f}".format(t_stat))

・実行結果

> print("T-statistic: {:.3f}".format(t_stat))
T-statistic: 1.581

$[2]$
$[1]$で計算した統計量は自由度$10-1=9$の$t$分布$t(9)$に従う。よって、上側$2.5$%の棄却限界点は下記を実行することで求められる。

from scipy import stats

print("Upper limit: {:.3f}".format(stats.t.ppf(0.975, 9)))

・実行結果

> print("Upper limit: {:.3f}".format(stats.t.ppf(0.975, 9)))
Upper limit: 2.262

$[3]$
$1.581<2.262$であるので棄却されない。

$[4]$
$$
\large
\begin{align}
\frac{125-120}{\frac{10}{\sqrt{n}}} &> t_{\alpha=0.025}(n-1) \\
n &> 4 t_{\alpha=0.025}(n-1)^2
\end{align}
$$

上記を$n$に関して解けば良い。下記を実行することで不等号が成立する最小の$n$を求めることができる。

from scipy import stats

for i in range(10, 20):
    t_ = 4*stats.t.ppf(0.975,i)**2
    print("n: {}, 4t(n-1)^2: {:.2f}".format(i+1, t_))

・実行結果

n: 11, 4t(n-1)^2: 19.86
n: 12, 4t(n-1)^2: 19.38
n: 13, 4t(n-1)^2: 18.99
n: 14, 4t(n-1)^2: 18.67
n: 15, 4t(n-1)^2: 18.40
n: 16, 4t(n-1)^2: 18.17
n: 17, 4t(n-1)^2: 17.98
n: 18, 4t(n-1)^2: 17.81
n: 19, 4t(n-1)^2: 17.66
n: 20, 4t(n-1)^2: 17.52

上記より、$n=18$がここでの最小の標本サイズであることがわかる。

問11.2

$1)$
下記を実行することで分散の不偏推定値を計算することができる。

s = ((10.-1.)*10.**2 + (10.-1.)*8**2)/(10.+10.-2.)

print("Estimated s^2: {:.1f}".format(s))

・実行結果

> print("Estimated s^2: {:.1f}".format(s))
Estimated s^2: 82.0

$2)$
検定統計量$t$の値は下記を実行することで計算できる。

import numpy as np

t = (125.-115.)/(np.sqrt(82.)*np.sqrt(1./10.+1./10.))

print("t-statistic: {:.3f}".format(t))

・実行結果

> print("t-statistic: {:.3f}".format(t))
t-statistic: 2.469

$3)$
自由度が$10+10-2=18$であるので、棄却限界値は統計数値表より、$t_{\alpha=0.025}(18) = 2.101$であることがわかる。

scipy.stats.t.ppfを用いて、下記を実行することで値を得ることもできる。

from scipy import stats 

print(stats.t.ppf(1.-0.025,18))

$4)$
$t=2.469>2.101=t_{\alpha=0.025}(18)$より、帰無仮説は棄却され、対立仮説の$H_1: \mu_A \neq \mu_B$が採択される。

参考

・準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1