当記事は「統計学実践ワークブック(学術図書出版社)」の読解サポートにあたってChapter.11の「正規分布に関する検定」に関して演習問題を中心に解説を行います。正規分布を用いた検定はよく用いられる手法なので、演習を通して抑えておくと良いと思われました。
本章のまとめ
演習問題解説
問11.1
$[1]$
検定統計量は下記を実行することで計算できる。
import numpy as np
t_stat = (125.-120.)/(10./np.sqrt(10))
print("T-statistic: {:.3f}".format(t_stat))・実行結果
> print("T-statistic: {:.3f}".format(t_stat))
T-statistic: 1.581$[2]$
$[1]$で計算した統計量は自由度$10-1=9$の$t$分布$t(9)$に従う。よって、上側$2.5$％の棄却限界点は下記を実行することで求められる。
from scipy import stats
print("Upper limit: {:.3f}".format(stats.t.ppf(0.975, 9)))・実行結果
> print("Upper limit: {:.3f}".format(stats.t.ppf(0.975, 9)))
Upper limit: 2.262$[3]$
$1.581<2.262$であるので棄却されない。
$[4]$
$$
\large
\begin{align}
\frac{125-120}{\frac{10}{\sqrt{n}}} &> t_{\alpha=0.025}(n-1) \\
n &> 4 t_{\alpha=0.025}(n-1)^2
\end{align}
$$
上記を$n$に関して解けば良い。下記を実行することで不等号が成立する最小の$n$を求めることができる。
from scipy import stats
for i in range(10, 20):
t_ = 4*stats.t.ppf(0.975,i)**2
print("n: {}, 4t(n-1)^2: {:.2f}".format(i+1, t_))・実行結果
n: 11, 4t(n-1)^2: 19.86
n: 12, 4t(n-1)^2: 19.38
n: 13, 4t(n-1)^2: 18.99
n: 14, 4t(n-1)^2: 18.67
n: 15, 4t(n-1)^2: 18.40
n: 16, 4t(n-1)^2: 18.17
n: 17, 4t(n-1)^2: 17.98
n: 18, 4t(n-1)^2: 17.81
n: 19, 4t(n-1)^2: 17.66
n: 20, 4t(n-1)^2: 17.52上記より、$n=18$がここでの最小の標本サイズであることがわかる。
問11.2
$1)$
下記を実行することで分散の不偏推定値を計算することができる。
s = ((10.-1.)*10.**2 + (10.-1.)*8**2)/(10.+10.-2.)
print("Estimated s^2: {:.1f}".format(s))・実行結果
> print("Estimated s^2: {:.1f}".format(s))
Estimated s^2: 82.0$2)$
検定統計量$t$の値は下記を実行することで計算できる。
import numpy as np
t = (125.-115.)/(np.sqrt(82.)*np.sqrt(1./10.+1./10.))
print("t-statistic: {:.3f}".format(t))・実行結果
> print("t-statistic: {:.3f}".format(t))
t-statistic: 2.469$3)$
自由度が$10+10-2=18$であるので、棄却限界値は統計数値表より、$t_{\alpha=0.025}(18) = 2.101$であることがわかる。
scipy.stats.t.ppfを用いて、下記を実行することで値を得ることもできる。
from scipy import stats
print(stats.t.ppf(1.-0.025,18))$4)$
$t=2.469>2.101=t_{\alpha=0.025}(18)$より、帰無仮説は棄却され、対立仮説の$H_1: \mu_A \neq \mu_B$が採択される。
参考
・準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1
[…] 「統計学実践ワークブック」 演習問題 Ch.11 「正規分布に関する検定」https://www.hello-statisticians.com/explain-books-cat/stat_workbook/stat_workbook_ch11.html […]