問題
過去問題は統計検定公式が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。
解答
[1] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{記述9}\ }$ ：
$1-a_1z-a_2z^2 = 1-az-az^2 = 0$の全ての解の絶対値が$1$より大きくなる$a$の範囲を$0<a$で考えれば良い。二次方程式の解の公式より、$1-az-az^2 = az^2+az-1 = 0$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
z = \frac{-a \pm \sqrt{a^2+4a}}{2a}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \left| \frac{-a + \sqrt{a^2+4a}}{2a} \right| < \left| \frac{-a – \sqrt{a^2+4a}}{2a} \right|$であるので、$\displaystyle 1 < \left| \frac{-a + \sqrt{a^2+4a}}{2a} \right|$となる$a$を求めれば良い。
$$
\large
\begin{align}
1 &< \left| \frac{-a + \sqrt{a^2+4a}}{2a} \right| \\
1^2 &< \left( \frac{-a + \sqrt{a^2+4a}}{2a} \right)^2 \\
1 &< \frac{(-a + \sqrt{a^2+4a})^2}{4a^2} \\
4a^2 &< (-a + \sqrt{a^2+4a})^2 \\
4a^2 &< a^2 + (\sqrt{a^2+4a})^2 – 2a \sqrt{a^2+4a} \\
4a^2 &< a^2 + a^2 + 4a – 2a \sqrt{a^2+4a} \\
2a^2 – 4a &< – 2a \sqrt{a^2+4a} \\
2-a &> \sqrt{a^2+4a} \\
(2-a)^2 &> a^2+4a \\
8a &< 4 \\
a &< \frac{1}{2}
\end{align}
$$
上記より求める必要十分条件は$0<a<1/2$であることがわかる。
[2] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{記述10}\ }$ ：
$i \neq j$のとき$E[\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}]=0$より、$q=2$と推測できる。
解説
$[1]$の二次不等式を解くにあたっては両辺の符号の変化に注意が必要なので気をつけると良いです。特に問題文の$0<a$があることでシンプルに式変形を行えることは注意しておくと良いです。
参考
準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1