統計検定準1級 問題解説 ~2019年6月実施 問10 ロジスティック回帰~

問題

過去問題は統計検定公式が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。

解答

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{21}\ }$ : ①

ロジスティック回帰の目的変数はベルヌーイ分布に基づいて生成されたと考えられるので①の$\mathit{Bin}(1,\pi_i)$が正しい。

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{22}\ }$ : ①

ロジスティック回帰のリンク関数は$\displaystyle \log{\frac{x}{1-x}}$であることから①の$\displaystyle \log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} = \alpha + \beta x_i$が該当する。

[3] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{23}\ }$ : ④

$[2]$の$\displaystyle \log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} = \alpha + \beta x_i$に$\pi_{i} = 0.5, \alpha = 15.0429, \beta = -0.2322$を代入して対応する$x_i$を計算すれば良い。
$$
\large
\begin{align}
\log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} &= \alpha + \beta x_i \\
x_i &= \frac{1}{\beta} \left( \log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} – \alpha \right) \\
&= \frac{1}{-0.2322} \left( \log{\frac{0.5}{0.5}} – 15.0429 \right) \\
&= \frac{-15.0429}{-0.2322} \\
&= 64.7…
\end{align}
$$

よって④が正しいと考えられる。

[4] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{24}\ }$ : ⑤

$[2]$の$\displaystyle \log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} = \alpha + \beta x_i$に$\alpha = 15.0429, \beta = -0.2322, x_i=31$を代入して対応する$\pi_i$を計算すれば良い。
$$
\large
\begin{align}
\log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} &= \alpha + \beta x_i \\
\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}} &= \exp(\alpha + \beta x_i) \\
\pi_{i} (1+\exp(\alpha + \beta x_i)) &= \exp(\alpha + \beta x_i) \\
\pi_{i} &= \frac{\exp(\alpha + \beta x_i)}{1+\exp(\alpha + \beta x_i)} \\
&= \frac{\exp(15.0429 + (-0.2322) \cdot 31)}{1+\exp(15.0429 + (-0.2322) \cdot 31)} \\
&= \frac{\exp(7.8447)}{1+\exp(7.8447)} \\
& \simeq \frac{2.7183^{7} \cdot 2.3164}{1+2.7183^7 \cdot 2.3164} \\
&= 0.9996…
\end{align}
$$

上記より⑤が正しいことがわかる。

解説

ロジスティック回帰に関するオーソドックスな問題であり、$[2]$が正答できれば$[2]$の式を用いて$[3]$と$[4]$を計算することができます。$[3]$に関しては$\pi_i=0.5$より$\displaystyle \log{\frac{\pi_{i}}{1-\pi_{i}}} = \log{1} = 0$であることがわかれば計算をシンプルに考えることができます。$[4]$に関しては$e^{7.84} = e^{7}e^{0.84}$であることを元に付表$5$を用いることで計算を行うことができます。

参考

準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1

「統計学実践ワークブック」 演習問題 Ch.18 「質的回帰
https://www.hello-statisticians.com/explain-books-cat/stat_workbook/stat_workbook_ch18.html

最尤法・GLMに関する演習
https://www.hello-statisticians.com/practice/stat_practice7.html