統計検定準1級 問題解説 ~2019年6月実施 問11 マルコフ連鎖と遷移行列~

問題

過去問題は統計検定公式が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。

解答

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述7}\ }$ : $0.05$
$$
\begin{align}
M &= \left(\begin{array}{ccc} 1-\theta & \theta & 0 \\ \theta & 1-\theta-\phi & \phi \\ 0 & \phi & 1-\phi \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccc} 1-\theta & \theta & 0 \\ \theta & 0.99-\theta & 0.01 \\ 0 & \phi & 0.99 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記を元に$A$から$A$が$95$回、$A$から$B$が$5$回、$B$から$A$が$1$回、$B$から$B$が$19$回観測される確率を考えるとこれが尤度$L(\theta)$に一致する。$L(\theta), \log{L(\theta)}$は下記のように計算できる。
$$
\begin{align}
L(\theta) &= (1-\theta)^{95} \theta^{5} \theta^{1} (0.99-\theta)^{19} \\
&= (1-\theta)^{95} \theta^{6} (0.99-\theta)^{19} \\
\log{L(\theta)} &= 95 \log{(1-\theta)} + 5 \log{\theta} + 19 \log{(0.99-\theta)}
\end{align}
$$

上記の$\log{L(\theta)}$を$\theta$で微分し、$L(\theta)$が最大となる$\theta$の導出を行う。
$$
\begin{align}
\frac{\partial \log{L(\theta)}}{\partial \theta} &= – \frac{95}{1-\theta} + \frac{5}{\theta} – \frac{19}{0.99-\theta} \\
&= \frac{95(0.99-\theta)\theta + 6(1-\theta)(0.99-\theta) – 19(1-\theta)\theta}{(1-\theta)(0.99-\theta)\theta} \\
&= \frac{120 \theta^2 – 124.99 \theta +5.94}{(1-\theta)(0.99-\theta)\theta}
\end{align}
$$

上記は$0 < \theta < 0.99$では単調減少関数であるので$0 < \theta < 0.99$で$\displaystyle \frac{\partial \log{L(\theta)}}{\partial \theta} = 0$となる$\theta$の値を計算すれば良い。

二次方程式の解の公式より下記が得られる。
$$
\begin{align}
\theta &= \frac{124.99 \pm \sqrt{124.99^2 – 4 \times 120 \times 5.94}}{2 \times 120} \\
&= 0.049915, 0.991667
\end{align}
$$

上記より、$\theta = 0.049915$の小数第$3$位を四捨五入して$\theta=0.05$が得られる。

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述8}\ }$ : $\displaystyle \sum_{j=1}^{3} \lambda_{j}^{n} u_{1j} u_{3j}$
$A = U^{\mathrm{T}}MU$とおくと、$U$が直交行列であることより$U^{\mathrm{T}}U = UU^{\mathrm{T}} = I$であることを元に、下記のように考えることができる。
$$
\begin{align}
A &= U^{\mathrm{T}} M U \\
UAU^{\mathrm{T}} &= U U^{\mathrm{T}} M U U^{\mathrm{T}} \\
M &= UAU^{\mathrm{T}}
\end{align}
$$

上記より$M^{n}$は下記のように得られる。
$$
\begin{align}
M^{n} &= (UAU^{\mathrm{T}})^{n} \\
&= U A^{n} U^{\mathrm{T}}
\end{align}
$$

ここで$M^{n} = (m^{n}_{ij})$とおくと求める確率は$m^{n}_{13}$に一致する。よって下記のように計算を行うことができる。
$$
\begin{align}
m^{n}_{13} &= \left(\begin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} \lambda_1^{n} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3^{n} \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} u_{31} \\ u_{32} \\ u_{33} \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccc} u_{11} \lambda_1^{n} & u_{12} \lambda_2^{n} & u_{13} \lambda_3^{n} \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} u_{31} \\ u_{32} \\ u_{33} \end{array} \right) \\
&= u_{11} \lambda_1^{n} u_{31} + u_{12} \lambda_2^{n} u_{32} + u_{13} \lambda_3^{n} u_{33} \\
&= \sum_{j=1}^{3} \lambda_{j}^{n} u_{1j} u_{3j}
\end{align}
$$

解説

$[1]$の式は少々複雑ですが、$120 \theta^2 – 124.99 \theta + 5.94$まで導出できれば二次方程式の解の公式を用いることで解を計算することができます。また、$\phi=0.01$であることで$\theta$の定義域が$0 \leq \theta \leq 0.99$のように考えられることは抑えておくと良いです。$[2]$に関しては直交行列が$U^{\mathrm{T}}U = UU^{\mathrm{T}} = I$を元に対角行列の$n$乗を計算できることを元に考えると良いです。また、$m^{n}_{13}$だけを計算すれば良いことからどの行と列を計算すれば良いかが判断できれば途中計算をシンプルに表記できることも抑えておくと良いと思います。

参考

準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1

「統計学実践ワークブック」 演習問題 Ch.14 「マルコフ連鎖」
https://www.hello-statisticians.com/explain-books-cat/stat_workbook/stat_workbook_ch14.html

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