統計検定1級の2019年11月の「統計数理」の問4の解答例と解説について取り扱いました。他の問題の解答に関しては下記よりご確認ください。
https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi_1_math
問題
詳しくは統計検定公式よりご確認ください。
解答
[1]
検定における第一種の過誤の確率$\alpha$は棄却域が$R=\{x:1<x<3\}$であることより、下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\alpha &= P(1<X<3|\theta=0) \\
&= \int_{1}^{3} \frac{1}{\pi \{ 1+x^2 \}} \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \tan^{-1}(x) \right]_{1}^{3} \\
&= \frac{1}{\pi} (\tan^{-1}(3) – \tan^{-1}(1)) \\
&= \frac{1}{\pi} \left( 1.249 – \frac{\pi}{4} \right) \\
&= \frac{1.249}{3.1416} – \frac{1}{4} \\
&= 0.147568… \\
& \fallingdotseq 0.148
\end{align}
$$
[2]
検出力$1-\beta$は棄却域が$R=\{x:1<x<3\}$であることより、下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
1-\beta &= 1 – P(X<1, 3<X|\theta=1) \\
&= P(1<X<3|\theta=1) \\
&= \int_{1}^{3} \frac{1}{\pi \{ 1+(x-1)^2 \}} dx \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \tan^{-1}(x-1) \right]_{1}^{3} \\
&= \frac{1}{\pi} (\tan^{-1}(3-1) – \tan^{-1}(1-1)) \\
&= \frac{1}{\pi} (\tan^{-1}(2) – \tan^{-1}(0)) \\
&= \frac{1}{3.1416} (1.107 – 0) \\
&= 0.3523682… \\
& \fallingdotseq 0.352
\end{align}
$$
[3]
尤度比$\lambda(x)$を考えるにあたって、$f_{0}(x), f_{1}(x)$はそれぞれ下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
f_{0}(x) &= \frac{1}{\pi ( 1+x^2 )} \\
f_{1}(x) &= \frac{1}{\pi \{ 1+(x-1)^2 \}}
\end{align}
$$
上記より、尤度比$\displaystyle \lambda(x) = \frac{f_{1}(x)}{f_{0}(x)}$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\lambda(x) &= \frac{f_{1}(x)}{f_{0}(x)} \\
&= \frac{1}{\pi \{ 1+(x-1)^2 \}} \times \pi ( 1+x^2 ) \\
&= \frac{1+x^2}{1+(x-1)^2} \\
\end{align}
$$
上記で導出した$\lambda(x)$に$x=1, x=3$を代入することで下記を求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
\lambda(1) &= \frac{1+1^2}{1+(1-1)^2} \\
&= \frac{1+1^2}{1+0^2} \\
&= 2 \\
\lambda(3) &= \frac{1+3^2}{1+(3-1)^2} \\
&= \frac{1+3^2}{1+2^2} \\
&= 2
\end{align}
$$
グラフの概形に関しては、$\lambda'(x)=0$より極値を持つ$x$の値を求め、$x \to \pm \infty$の極限を計算することで描くことができる。公式の書籍の解答がわかりやすいのでここでは省略を行う。
[4]
ネイマン・ピアソンの基本定理により、$\alpha$が与えられた条件下における最強力検定は、尤度比がある値以上の領域を棄却域に定める。[1]〜[3]の解答より、棄却域を$R={x:1<x<3}$にする検定が最強力検定となる。
解説
[1]〜[3]に関しては他の大問に比べて比較的計算しやすい問いが並んでいるので、大問5題中3題の選択にあたってはなるべくこういった問題を選ぶと良いと思われました。
[4]を理解するにあたっては、$H_{0}:\theta=0, H_{1}:\theta=1$の単純仮説検定に対して、尤度比$\lambda(x)$に対して$\lambda(x) > 2$を棄却域に定めたと考えれば[3]で作成を行うグラフより棄却域の$R=\{x:1<x<3\}$が対応するので、ネイマン・ピアソンの定理に対応付けて理解することができると思います。
20点配分なら[1]が5点、[2]が5点、[3]が7点、[4]が3点が妥当なのではないかと思います。[3]のグラフを正確に描くことができ、そこから[4]を考察できれば試験時であっても完答が狙えるのではないかと思います。