統計検定1級 統計数理 問題解説 ～2019年11月実施 問3～

統計検定1級の2019年11月の「統計数理」の問3の解答例と解説について取り扱いました。他の問題の解答に関しては下記よりご確認ください。
https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi_1_math

問題

詳しくは統計検定公式よりご確認ください。

解答

[1]
一様分布を考えるにあたって指示関数$\mathit{I}_{[x \leq c]}(x)$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mathit{I}_{[x \leq c]}(x) &= 1, \quad if \quad x \leq c \\
&= 0 \quad otherwise
\end{align}
$$

上記は$x$に関して$x \leq c$が成立すれば$\mathit{I}_{[x \leq c]}(x)=1$、そうでなければ$\mathit{I}_{[x \leq c]}(x)=0$を表す。

このとき一様分布$U(0,\theta)$に従う確率変数$X_i$の確率密度関数を$f(x_i)$と定義すると、$f(x_i)$は指示関数を用いて下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
f(x_i) = \frac{1}{\theta} \mathit{I}_{[0 \leq x_i \leq \theta]}(x_i)
\end{align}
$$

上記に基づいて、確率変数$X_1,X_2,…,X_n$に関する同時確率密度関数を$f(x_1,x_2,…,x_n)$のように定義すると、$f(x_1,x_2,…,x_n)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1,x_2,…,x_n) &= \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} \mathit{I}_{[0 \leq x_i \leq \theta]}(x_i) \\
&= \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} \mathit{I}_{[0 \leq x_i \leq \theta]}(x_i) \\
&= \frac{1}{\theta^n} \mathit{I}_{[0 \leq x_1 \leq \theta, …, 0 \leq x_n \leq \theta]}(x_1,…,x_n) \\
&= \frac{1}{\theta^n} \mathit{I}_{[0 \leq \min x_i]}(x_1,…,x_n) \mathit{I}_{[\max x_i \leq \theta]}(x_1,…,x_n) \\
&= \frac{1}{\theta^n} \mathit{I}_{[0 \leq \min x_i]}(x_1,…,x_n) \mathit{I}_{[y \leq \theta]}(y)
\end{align}
$$

上記より、Fisher-Neymanの分解定理により、$Y$が$\theta$に関する十分統計量であることが確認できる。

[2]
$Y$の累積分布関数を$G(y)$とおくとき、$G(y)$は$0 < y < \theta$の範囲で下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
G(y) &= P(Y \leq y) \\
&= P(X_1,X_2,…,X_n \leq y) \\
&= P(X_1 \leq y)P(X_2 \leq y)…P(X_n \leq y) \\
&= \prod_{i=1}^{n} \frac{y}{\theta} \\
&= \frac{y^n}{\theta^n}
\end{align}
$$

$Y$の確率密度関数の$g(y)$は$G(y)$を$y$で微分することで、$0 < y < \theta$の範囲で下記のように得ることができる。
$$
\large
\begin{align}
g(y) &= \frac{d}{dy} G'(y) \\
&= \frac{d}{dy} \left( \frac{y^n}{\theta^n} \right)’ \\
&= \frac{n}{\theta^n} y^{n-1}
\end{align}
$$

[3]
$Y=y$が与えられた際の$X_1,…,X_n$に関する条件付き同時確率密度関数を$Y$以外の確率変数を$X_1,…,X_{n-1}$とおくことで$f(x_1,…,x_{n-1}|y)$のように定義する。このとき条件付き確率の式より、$f(x_1,…,x_{n-1}|y)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1,…,x_{n-1}|y) = \frac{f(x_1,…,x_{n-1},y)}{g(y)}
\end{align}
$$

上記の$g(y)$は[2]で求めた。$f(x_1,…,x_{n-1},y)$は一様分布の1つの地点であり、$Y$の選び方が$n$通りあると考えると下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1,…,x_{n-1},y) = \frac{n}{\theta^n}
\end{align}
$$

ここまでの議論により、条件付き確率$f(x_1,…,x_{n-1}|y)$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
f(x_1,…,x_{n-1}|y) &= \frac{f(x_1,…,x_{n-1},y)}{g(y)} \\
&= \frac{\frac{n}{\theta^n}}{\frac{n}{\theta^n} y^{n-1}} \\
&= \frac{1}{y^{n-1}}
\end{align}
$$

・別解
$Y=X_n$となる確率が$1/n$と考えて解く方法もある。← 公式書籍に記載されているので、そちらを参照ください。

[4]
$Y$の期待値$E[Y]$は下記のように計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
E[Y] &= \int_{0}^{\theta} y \cdot g(y) dy \\
&= \int_{0}^{\theta} y \cdot \frac{n}{\theta^n} y^{n-1} dy \\
&= \frac{n}{\theta^n} \int_{0}^{\theta} y^{n} dy \\
&= \frac{n}{\theta^n} \left[ \frac{1}{n+1} y^{n+1} \right]_{0}^{\theta} \\
&= \frac{n}{\theta^n} \times \frac{\theta^{n+1}}{n+1} \\
&= \frac{n}{n+1} \theta
\end{align}
$$

また、上記より、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
E \left[ \frac{n+1}{n}Y \right] &= \frac{n+1}{n} E[Y] \\
&= \frac{n+1}{n} \times \frac{n}{n+1} \theta \\
&= \theta
\end{align}
$$
上記より$\displaystyle \tilde{\theta} = \frac{n+1}{n} Y$とおけば$E[\tilde{\theta}]=\theta$より、$\tilde{\theta}$が不偏推定量であることがわかる。

[5]
$E[u(Y)]=0$であることより、下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
E[u(Y)] &= \int_{0}^{\theta} u(y) \cdot g(y) dy \\
&= \int_{0}^{\theta} u(y) \cdot \frac{n}{\theta^n} y^{n-1} dy \\
&= \frac{n}{\theta^n} \int_{0}^{\theta} u(y) y^{n-1} dy = 0 \\
\end{align}
$$

上記が全ての$\theta$で成立するには$u(Y)$がなめらかであることより$u(Y) \equiv 0$でなければならない。

[6]
$s(Y)$を$\theta$の別の不偏推定量であると考えると、$E[s(Y)]=\theta$が成立する。ここで$u(Y)=s(Y)-\tilde{\theta}$とおくと、$E[u(Y)]$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
E[u(Y)] &= E \left[ s(Y)-\tilde{\theta} \right] \\
&= E \left[ s(Y) \right] – E \left[ \frac{n+1}{n}Y \right] \\
&= \theta – \theta \\
&= 0
\end{align}
$$
ここで[5]より$E[u(Y)]=0 \implies u(Y) \equiv 0$が成立し、$u(Y) \equiv 0$より$s(Y) \equiv \tilde{\theta}$も成立する。よって、[4]で計算を行なった$\tilde{\theta}$が唯一の不偏推定量であることがわかる。

解説

[1]でFisher-Neymanの分解定理を用いて示した十分統計量に関しては[3]の式が$\theta$に依存しないことを確認することで示すことができます。[1]と[3]が重複することでミスリードを生むとも思われるので、何かしら問題文に追記がある方が良い印象でした。
また、[4]で導出を行なった一様分布の不偏推定量が$\displaystyle \tilde{\theta} = \frac{n+1}{n} Y = \frac{n+1}{n} \max X_i$となるのは最尤推定量が$\max X_i$であるのと合わせて抑えておくと良いと思います。
20点配分なら[1]が5点、[2]が3点、[3]が3点、[4]が3点、[5]が3点、[6]が3点ほどが妥当だと思われました。