4.4.1 母平均の差の検定 〜統計検定2級対応・統計学入門まとめ〜

当まとめでは統計検定$2$級の公式テキストの副教材に用いることができるように、統計学入門に関して取り扱います。当記事では「統計検定$2$級対応 統計学基礎」の$4.4.1$節「母平均の差の検定」の内容を元に母分散既知・未知の場合の母平均の差の検定の方法について確認を行います。
統計検定$2$級のテキストとの対応がわかりやすいように、目次を「統計検定$2$級対応 統計学基礎」と対応させました。学びやすさの観点からあえて目次を対応させましたが、当まとめは「統計の森」オリジナルのコンテンツであり、統計検定の公式とは一切関係ないことにご注意ください。

・統計検定$2$級対応・統計学入門まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_basic

「母平均の差の検定」の概要

概要

$L$	$90$	$76$	$90$	$64$	$86$	$51$	$72$	$90$	$95$	$78$
$H$	$73$	$102$	$118$	$104$	$81$	$107$	$100$	$87$	$117$	$111$
$C$	$116$	$68$	$32$	$142$	$110$	$56$	$94$	$64$	$92$	$104$

上記のように$L$、$H$、$C$の$3$つのグループに関して観測値が得られたとき、$2$グループを選んでそれぞれのグループの母平均に差があるかを調べる場合を考えます。

このときの一連の手順が「母平均の差の検定」であり、次節で「母分散既知の場合」、「母分散未知かつ等しい場合」、「母分散未知かつ等しくない場合」の$3$つに場合分けし、それぞれについて検定の手順を確認します。

必要な数学

$\sqrt{x}$や$x^2$の取り扱いなど、基本的な計算を抑えておけば十分です。

母平均の検定

母分散既知の場合

$L$からの標本の実現値$x_1, \cdots , x_m$が$\mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)$に基づいて生成され、$H$からの標本の実現値$y_1, \cdots , y_n$が$\mathcal{N}(\mu_2,\sigma^2)$に基づいて生成されると仮定します。

このとき、標本平均$\overline{X}, \overline{Y}$を下記のように定めます。
$$
\large
\begin{align}
\overline{X} &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} X_i \\
\overline{Y} &= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} Y_j \\
\overline{X} & \sim \mathcal{N} \left( \mu_1,\frac{\sigma^2}{m} \right), \quad \overline{Y} \sim \mathcal{N} \left( \mu_2,\frac{\sigma^2}{n} \right)
\end{align}
$$

ここで標本平均の差の$\overline{X}-\overline{Y}$を考えるとき、正規分布のモーメント母関数などを用いることで下記を示すことができます。
$$
\large
\begin{align}
\overline{X}-\overline{Y} \sim \mathcal{N} \left( \mu_1-\mu_2, \frac{\sigma^2}{m}+\frac{\sigma^2}{n} \right)
\end{align}
$$

上記より、$\displaystyle \overline{X}-\overline{Y} \sim \mathcal{N} \left( \mu_1-\mu_2, \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\sigma^2 \right)$が成立します。よって、検定統計量$Z$を下記のように定義することができます。
$$
\large
\begin{align}
Z &= \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\sigma} \\
Z & \sim \mathcal{N}(0,1)
\end{align}
$$

上記に対し$\mu_1-\mu_2$に対して帰無仮説$H_0: \, \mu_1-\mu_2=0$などを仮定し、$z_{\alpha=0.025}=1.96$などを用いることで両側$5$％検定を行うことができます。

発展事項

$\displaystyle \overline{X}-\overline{Y} \sim \mathcal{N} \left( \mu_1-\mu_2, \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\sigma^2 \right)$が成立することは正規分布のモーメント母関数を用いることで示すことができます。詳しくは下記で取り扱いました。

正規分布のモーメント母関数を用いた「母平均の差」の推定に関する導出

上記の導出にはモーメント母関数の理解が必須なので、統計検定$2$級範囲では下記のように$E[\overline{X}-\overline{Y}], V[\overline{X}-\overline{Y}]$の計算で抑えておくでも十分です。
$$
\large
\begin{align}
E[\overline{X}-\overline{Y}] &= E[\overline{X}] – E[\overline{Y}] \\
V[\overline{X}-\overline{Y}] &= V[\overline{X}] + V[-\overline{Y}] \\
&= V[\overline{X}] + (-1)^2V[\overline{Y}] = V[\overline{X}] + V[\overline{Y}]
\end{align}
$$

母分散未知かつ等しい場合

母分散未知かつ等しくない場合