「集合」の基本的理解・公式と集合の考え方を用いた変数・ベクトル・行列の定義

集合は抽象的なトピックであり単体で学ぶと難しそうな印象を受けるかもしれませんが、統計学では「同時確率分布」を考える際や「変数・ベクトル・行列の定義」を行う際などに頻出なので抑えておくと良いです。当記事では統計学を学ぶにあたって抑えておくとよいトピックを中心に集合に関して取りまとめました。

・基礎数学まとめ
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なお、当記事の取りまとめにあたっては「直感的理解」を重視しましたので、所々「厳密ではない」表現を用いている場合があります。正確には「集合」や「集合論」の教科書などを適宜参照ください。

基本トピック

要素と集合

「集合」は「複数の要素をまとめて取り扱ったもの」と大まかに理解すると良いです。たとえば「$1$以上$10$以下の偶数に対応する$2,4,6,8,10$」のように複数の要素をまとめて取り扱います。要素がない空集合や$1$つの場合などもありますが、「複数の要素をまとめて取り扱える」というのが「集合」を学ぶ利点の$1$つではあるので、大まかに考えるにあたっては「複数の要素をまとめて取り扱ったもの」のように考えると良いのではないかと思います。

ここで$1$以上$10$以下の偶数の集合を$A$とおくと、$A$は下記のように表すことができます。
$$
\large
\begin{align}
A = \{2,4,6,8,10\}
\end{align}
$$

ここで$A$を集合、$2,4,6,8,10$を要素と呼ぶことは必ず抑えておく必要があります。また、$2$のような要素が集合$A$に含まれることを記号$\in$を用いて$2 \in A$のように表記します。

和集合・積集合

必要条件・十分条件

集合の応用

積集合と同時確率分布

変数・ベクトル・行列の定義

変数・ベクトル・行列の定義にあたって集合の考え方を用いた表記は様々な文献で用いられるので必ず抑えておくとよい。表記にあたっては、$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R}$をそれぞれ自然数、整数、実数の集合と定め、実数$x$を$x \in \mathbb{R}$のように表す。

変数の場合は単に「実数$x$」などと表記するだけでもシンプルに表記できるが、ベクトル・行列の場合は次元を考える必要があり、単に「実数ベクトル$\mathbf{x}$」ではなく「$n$次元実数ベクトル$\mathbf{x}$」のように表記しなければならない。このときに、下記のような表記が用いられる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}
\end{align}
$$

上記は「$n$次元の実数ベクトル$\mathbf{x}$」を定めることに一致する。同様に$m \times n$の実数行列$A$は下記のように定義できる。
$$
\large
\begin{align}
A \in \mathbb{R}^{m \times n}
\end{align}
$$