累次積分(repeated integral)は「$1$変数関数の積分を繰り返すことで多重積分を計算する積分の計算法」です。累次積分を用いることで多重積分を$1$変数の積分に帰着することが可能です。当記事では曲線間領域における累次積分の計算の流れとその具体例に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$7$章「積分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
曲線間領域における累次積分の計算の流れ
閉区間$a \leq x \leq b$で定義された連続関数$y = \phi(x), y = \psi(x)$に関して、全ての$x$について$\phi(x) \leq \psi(x)$が成立すると仮定する。このとき領域$D = { (x,y)|a \leq x \leq b, \psi(x) \leq y \leq \phi(x) }$で定義される連続関数$f(x,y)$に関して下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy = \int_{a}^{b} \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) dy dx
\end{align}
$$
曲線間領域における累次積分の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$128.(1)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy, \quad D = \{ (x,y)|x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq \pi \}
\end{align}
$$
$x+y \leq \pi$より、$x \leq \pi-y$が成立する。ここで$x \geq 0, y \geq 0$も成立するので、$x$の定義域は$0 \leq x \leq \pi$のように考えることができる。また、$y \geq 0, x+y \leq \pi$より、$0 \leq y \leq \pi-x$が同様に成立するが、ここで$\psi(x)=0, \phi(x)=\pi-x$のようにおくことを考える。このとき$\psi(x) \leq y \leq \phi(x)$が成立する。よって、積分領域$D$に関して下記が成り立つ。
$$
\begin{align}
D = \{ (x,y)|x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq \pi \} & \iff D = \{ (x,y)|0 \leq x \leq \pi, \psi(x) \leq y \leq \phi(x) \} \\
\psi(x) &= 0 \\
\phi(x) &= \pi-x
\end{align}
$$
よって、重積分は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy &= \int_{0}^{\pi} \int_{\psi(x)}^{\phi(x)} \sin{(x+y)} dy dx \\
&= \int_{0}^{\pi} \left[-\cos{(x+y)}\right]_{0}^{\pi-x} dx \\
&= \int_{0}^{\pi} (\cos{x} – \cos{(\cancel{x}+\pi-\cancel{x})}) dx \\
&= \int_{0}^{\pi} (\cos{x} – (-1)) dx \\
&= \int_{0}^{\pi} (\cos{x} + 1) dx \\
&= \left[ \sin{x}+x \right]_{0}^{\pi} \\
&= \pi
\end{align}
$$
基本例題$128.(2)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy, \quad D = \{ (x,y)|x \leq y \leq 2-x^2 \}
\end{align}
$$
$x \leq 2-x^2$は、$(x+2)(x-1) \leq 0$のように変形できるので、$x$の定義域は$-2 \leq x \leq 1$のように考えることができる。また、$x \leq y \leq 2-x^2$が同様に成立するが、ここで$\psi(x)=x, \phi(x)=2-x^2$のようにおくことを考える。このとき$\psi(x) \leq y \leq \phi(x)$が成立する。よって、積分領域$D$に関して下記が成り立つ。
$$
\begin{align}
D = \{ (x,y)|x \leq y \leq 2-x^2 \} & \iff D = \{ (x,y)|0 \leq x \leq \pi, \psi(x) \leq y \leq \phi(x) \} \\
\psi(x) &= x \\
\phi(x) &= 2-x^2
\end{align}
$$
よって、重積分は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{-2}^{1} \int_{\psi(x)}^{\phi(x)} (x+y) dy dx \\
&= \int_{-2}^{1} \left[ xy + \frac{1}{2}y^2 \right]_{y=x}^{y=2-x^2} dx \\
&= \int_{-2}^{1} \left[ x(2-x^2) + \frac{1}{2}(2-x^2)^2 – \left( x^2 + \frac{1}{2}x^2 \right) \right] dx \\
&= \int_{-2}^{1} \left( \frac{1}{2}x^4 – x^3 – \frac{7}{2}x^2 + 2x + 2 \right) dx \\
&= \left[ \frac{1}{10}x^5 – \frac{1}{4}x^4 – \frac{7}{6}x^3 + x^2 + 2x \right]_{-2}^{1} \\
&= \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{4} – \frac{7}{6} + 1 + 2 \right) – \left( \frac{32}{10} – 4 – \frac{56}{6} + 4 – 4 \right) \\
&= \frac{33}{10} – \frac{1}{4} – \frac{63}{6} + 3 + 4 \\
&= \frac{66-5-210+140}{20} = -\frac{9}{20}
\end{align}
$$
基本例題$128.(3)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} x^2 y dx dy, \quad D = \{ (x,y)| x^2 + y^2 \leq 1, y \geq 0 \}
\end{align}
$$