部分分数分解(partial fraction decomposition)の解法まとめ

部分分数分解(partial fraction decomposition)は積分を行う際などによく用いられる演算です。通分による分数の計算の逆演算であると解釈することもできます。当記事では部分分数分解のフォーマルな解法と簡単な式の暗算のやり方について取りまとめを行いました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

部分分数分解

概要

部分分数分解は分母が積の形で表される分数を分解する一連の流れを表す。部分分数分解では具体的には下記のような計算を行う。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2}
\end{align}
$$

上記のように部分分数分解は通分による計算の逆演算であると解釈することもできる。

簡易的な解法

$\displaystyle \frac{1}{(x+s)(x+t)}, \, s \neq t$のような分数の場合、下記のように部分分数分解を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{(x+s)(x+t)} = \frac{1}{t-s} \left[ \frac{1}{x+s} – \frac{1}{x+t} \right]
\end{align}
$$

たとえば$\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x+2)}$は下記のように部分分数分解を行える。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{(x-1)(x+2)} &= \frac{1}{2-(-1)} \left[ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2} \right] \\
&= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2} \right]
\end{align}
$$

フォーマルな解法

前項の解法は分母が$2$つの要素の式である場合は概ね有効である一方で、$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)(x+2)}$のように$3$つの要素の分解の場合などに用いるフォーマルな解法も抑えておくと良い。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x+2} \quad (1)
\end{align}
$$

フォーマルに部分分数分解を行う場合は$(1)$式のように分解を行うことができると仮定し、両辺の対応から$a, b, c$の値を得る。$(1)$式の右辺は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x+2} &= \frac{a(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)} + \frac{bx(x+2)}{x(x+1)(x+2)} + \frac{cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)} \\
&= \frac{(a+b+c)x^{2} + (3a+2b+c)x + 2a}{x(x+1)(x+2)}
\end{align}
$$

上記と$(1)$式より下記のような連立方程式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
a+b+c &= 0 \\
3a+2b+c &= 0 \\
2a &= 2
\end{align}
$$

上記より、$a=1, b=-2, c=1$が得られるので、下記のような部分分数分解が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x} – \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2}
\end{align}
$$

部分分数分解の応用例

定積分の計算

部分分数分解は主に積分を計算する際によく用いられる。たとえば下記のように定積分を計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx &= \int_{1}^{2} \left[ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2} \right] dx \\
&= \left[ \log{|x+1|} – \log{|x+2|} \right]_{0}^{1} \\
&= (\log{2} – \log{3})-(\log{1} – \log{2}) = 2\log{2} – \log{3}
\end{align}
$$