線形代数の枠組みで$n$次正方行列の行列式(determinant)を取り扱うにあたっては置換(permutation)という概念を抑えておく必要があります。当記事では置換(permutation)の合成の概要と具体的な使用例の確認について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$4$章「行列式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
置換の合成
置換の定義
置換$\sigma$は下記のように表される。
$$
\large
\sigma :
\begin{cases}
1 \longmapsto 3 \\
2 \longmapsto 5 \\
3 \longmapsto 2 \\
4 \longmapsto 4 \\
5 \longmapsto 1
\end{cases}
$$
$\sigma$は下記のように表す場合もある。
$$
\large
\begin{align}
\sigma = \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 2 & 4 & 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記の詳細は下記で取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/matrix_permutation2.html
置換の合成
置換$\sigma$を作用させた後に置換$\tau$を作用させる置換を$\sigma$と$\tau$の合成といい、$\tau \sigma$のように表す。基本的に置換は演算子$\nabla$のように右から作用させるので、$\tau \sigma$の場合は$\sigma, \, \tau$の順に置換の処理が行われる。
置換の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$053$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\sigma = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{array} \right], \, \tau = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$
「$1 \longmapsto 3 \longmapsto 3$」、「$2 \longmapsto 2 \longmapsto 4$」、「$3 \longmapsto 4 \longmapsto 1$」、「$4 \longmapsto 1 \longmapsto 2$」のように置換処理を行うので、合成置換$\tau \sigma$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
\tau \sigma = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right]
\end{align}
$$
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\sigma = \tau = \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 5 & 1 & 4 \end{array} \right]
\end{align}
$$
「$1 \longmapsto 2 \longmapsto 3$」、「$2 \longmapsto 3 \longmapsto 5$」、「$3 \longmapsto 5 \longmapsto 4$」、「$4 \longmapsto 1 \longmapsto 2$」、「$5\longmapsto 4 \longmapsto 1$」のように置換処理を行うので、合成置換$\tau \sigma$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
\sigma = \tau = \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 2 & 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$