Ch.25 「偏微分と微分」の演習問題の解答例 〜統計学のための数学入門30講(朝倉書店)〜

当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$25$の「偏微分と微分」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

本章のまとめ

演習問題解答

問題$25.1$

$$
\large
\begin{align}
f(x,y) = e^{-x}y^2 + xy^3
\end{align}
$$

上記に対し、$f_x, x_{xx}, f_{xy}, f_y, f_{yx}, f_{yy}$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f_x &= -e^{-x}y^2 + y^3 \\
f_{xx} &= e^{-x}y^2 \\
f_{xy} &= -2e^{-x}y + 3y^2 \\
f_y &= 2e^{-x}y + 3xy^2 \\
f_{yx} &= -2e^{-x}y + 3y^2 \\
f_{yy} &= 2e^{-x} + 6xy
\end{align}
$$

問題$25.2$

問題$25.1$の結果より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
f_x &= -e^{-x}y^2 + y^3 \\
f_y &= 2e^{-x}y + 3xy^2
\end{align}
$$

上記を元に$f_x(x,y)=-e^{-x}y^2 + y^3, f_y(x,y)=2e^{-x}y + 3xy^2$のように定めると、$f_x(1,2), f_y(1,2), f(1,2)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
f_x(1,2) &= -e^{-1} \cdot 2^2 + 2^3 = 8-4e^{-1} \\
f_y(1,2) &= 2e^{-1} \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2^2 = 12+4e^{-1} \\
f(1,2) &= e^{-1} \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^3 = 8+4e^{-1}
\end{align}
$$

よって点$(1,2,f(1,2))$における接平面の方程式は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
z – f(1,2) &= f_x(1,2)(x-1) + f_y(1,2)(y-2) \\
z – (8+4e^{-1}) &= (8-4e^{-1})(x-1) + (12+4e^{-1})(y-2)
\end{align}
$$