積分は微分の逆の演算ですが、関数形によっては積分の計算が行えない場合や、部分積分や置換積分のようになんらかの処理が必要な場合があるので詳しくまとめます。当記事では「Wikipedia：原始関数の一覧」より$1/(ax^2+b)$を含む積分などに関して、導出を追記する形式で取り扱いました。
基本的には不定積分のみを取り扱いますが、定積分は$\displaystyle \left[ F(x)+C \right]_{a}^{b}=(F(a)+C)-(F(b)+C)=F(a)-F(b)$のようにそれぞれ同様に計算ができることから定積分の取り扱いに関しては省略します。
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数式一覧
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\begin{align}
\int \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx &= \frac{1}{\alpha} \tan^{-1} \left( \frac{x}{\alpha} \right) + C \\
\int \frac{1}{ax^2+b} dx &= \frac{1}{\sqrt{ab}} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a}{b}}x \right) + C
\end{align}
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導出の詳細
・$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx = \frac{1}{\alpha} \tan^{-1} \left( \frac{x}{\alpha} \right) + C$
$x = \alpha \tan{\theta}$のように置き換えることを考える。このとき$\displaystyle \frac{1}{x^2+\alpha^2}$は下記のように変形できる。
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\begin{align}
\frac{1}{x^2+\alpha^2} &= \frac{1}{(\alpha \tan{\theta})^2+\alpha^2} \\
&= \frac{1}{\displaystyle \alpha^2 \frac{\sin^{2}{\theta}}{\cos^{2}{\theta}} + \alpha^2} \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}}{\alpha^2 \sin^{2}{\theta} + \alpha^2 \cos^{2}{\theta}} \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}}{\alpha^2(\sin^{2}{\theta} + \cos^{2}{\theta})} \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}}{\alpha^2}
\end{align}
$$
また、$\displaystyle \frac{dx}{d \theta}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\frac{dx}{d \theta} &= \alpha \frac{d}{d \theta} (\tan{\theta}) \\
&= \alpha \left( \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \right)’ \\
&= \alpha \times \frac{\cos^2{\theta}-(-\sin^2{\theta})}{\cos^2{\theta}} \\
&= \alpha \times \frac{\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} \\
&= \frac{\alpha}{\cos^2{\theta}}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx$は下記のように計算を行える。
$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx &= \int \frac{\cos^{2}{\theta}}{\alpha^2} \frac{dx}{d \theta} d \theta \\
&= \int \frac{\cos^{2}{\theta}}{\alpha^2} \frac{\alpha}{\cos^2{\theta}} d \theta \\
\end{align}
$$
ここで$x = \alpha \tan{\theta}$より$\displaystyle \theta = \tan^{-1}\left( \frac{x}{\alpha} \right)$が成立するので上記は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx &= \frac{1}{\alpha} \theta + C \\
&= \frac{1}{\alpha} \tan^{-1}\left( \frac{x}{\alpha} \right) + C
\end{align}
$$
・$\displaystyle \int \frac{1}{ax^2+b} dx = \frac{1}{\sqrt{ab}} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a}{b}}x \right) + C$
$\displaystyle x = \sqrt{\frac{b}{a}} \tan{\theta}$のように置き換えることを考える。このとき$\displaystyle \frac{1}{ax^2+b}$は下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
\frac{1}{ax^2+b} &= \frac{1}{\displaystyle a \sqrt{\frac{b}{a}}^2 \tan^2{\theta}+b} \\
&= \frac{1}{\displaystyle \frac{\cancel{a}b}{\cancel{a}} \tan^2{\theta} + b} \\
&= \frac{1}{\displaystyle b \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^{2}{\theta}} + b} \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}}{\displaystyle b \sin^2{\theta} + b \cos^{2}{\theta}} \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}}{b(\sin^2{\theta} + \cos^{2}{\theta})} \\
&= \frac{\cos^{2}{\theta}}{b}
\end{align}
$$
また、$\displaystyle \frac{dx}{d \theta}$は前項の$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx = \frac{1}{\alpha} \tan^{-1} \left( \frac{x}{\alpha} \right) + C$の導出を参考にすることで下記のように計算できる。
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\begin{align}
\frac{dx}{d \theta} &= \sqrt{\frac{b}{a}} \frac{d}{d \theta} (\tan{\theta}) \\
&= \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \frac{1}{\cos^2{\theta}}
\end{align}
$$
よって$\displaystyle \int \frac{1}{ax^2+b} dx$は下記のように計算を行える。
$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{ax^2+b} dx &= \int \frac{\cos^{2}{\theta}}{b} \frac{dx}{d \theta} d \theta \\
&= \int \frac{\cos^{2}{\theta}}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \frac{1}{\cos^2{\theta}} d \theta \\
&= \frac{1}{\sqrt{ab}} \theta + C
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle x = \sqrt{\frac{b}{a}} \tan{\theta}$より$\displaystyle \theta = \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a}{b}}x \right)$が成立するので、上記は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\int \frac{1}{ax^2+b} dx &= \frac{1}{\sqrt{ab}} \theta + C \\
&= \frac{1}{\sqrt{ab}} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a}{b}}x \right) + C
\end{align}
$$