ダランベールの収束判定法に基づくモーメント母関数の収束半径の計算

収束半径(radius of convergence)は多項式の形式で表されるべき級数に対して、級数が収束する際の多項式の変数の取りうる値の上限を表す概念です。当記事ではダランベールの収束判定法に基づいて、モーメント母関数の収束半径の計算式の導出を行いました。
当記事の作成にあたっては「数理統計学(共立出版)」の$4.5$節「積率母関数と特性関数」を主に参考にしました。

・参考
収束半径
ダランベールの収束判定法

基本事項の確認

ダランベールの収束判定法

正項級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_n, \: z_n > 0$に関して下記が存在すると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{z_{n+1}}{z_n} = l
\end{align}
$$

このとき、$l<1$であれば級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_n, \: z_n > 0$は収束し和を持ち、$l>1$であれば級数は発散する。上記をダランベールの収束判定法という。

収束半径

$$
\large
\begin{align}
f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} \\
z_n &= |a_n x^{n}|
\end{align}
$$

上記で表したマクローリン級数に対して、ダランベールの収束判定法を適用し、級数が収束する際の$x$の範囲を考える。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{z_{n+1}}{z_n} &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x}{a_n} \right| < 1 \\
|x| & < \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right| = r
\end{align}
$$

上記の式ではマクローリン級数が収束する際の$|x|$の最大の値を収束半径$r$と定めた。

$e^{x}$のマクローリン級数と収束半径

モーメント母関数は$e^{x}$のマクローリン級数に基づいて定められるので、当項では$e^{x}$のマクローリン級数と収束半径を考える。$e^{x}$のマクローリン級数は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
e^{x} = \frac{1}{0!}x^{0} + \frac{1}{1!}x^{1} + \cdots = \sum_{n=0} \frac{1}{n!}x^{n} = \sum_{n=0} a_{n} x^{n}
\end{align}
$$

このとき収束半径を$r$とおくと、$r$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
r &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty
\end{align}
$$

モーメント母関数

以下、当節は「数理統計学(共立出版)」の$4.5$節「積率母関数と特性関数」を元に作成を行ったので、合わせて確認すると良い。

モーメント母関数の収束半径

モーメント母関数を$m(t)$とおくと指数分布のマクローリン級数に基づいて下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
m(t) = E[e^{tX}] = E \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(tX)^{n}}{n!} \right] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E[X^n]}{n!} t^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^{n}
\end{align}
$$

よってモーメント母関数の収束半径を$r$とおくと、$r$は下記のように考えられる。
$$
\large
\begin{align}
r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{E[X^{n}]/n!}{E[X^{n+1}]/(n+1)!]} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{E[X^{n}] (n+1)}{E[X^{n+1}]} \right|
\end{align}
$$

モーメント母関数の存在条件

モーメント母関数$m(t)$は「①$n$次のモーメントが存在」する際に「②収束半径」の範囲で成立すると考えられる。詳しくは「数理統計学(共立出版)」の$4.5$節「積率母関数と特性関数」などを参照すると良い。