モーメント母関数を用いた指数分布の平均・分散・歪度・尖度の計算

歪度(skewness)や尖度(kurtosis)はそれぞれ$3$次と$4$次のモーメントを元に計算を行いますが、具体的な値が計算される場合が少ないようです。そこで当記事では指数分布のモーメント母関数を元にそれぞれの値を計算し、指数分布の尖度が$6$であることも同時に確認を行います。

・平均、分散、歪度、尖度の定義まとめ
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/moment1.html

指数分布$\mathrm{Ex}(\lambda)$のモーメント母関数

モーメント母関数の確認

指数分布$\mathrm{Ex}(\lambda)$のモーメント母関数を$m(t)$とおくと$m(t)$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
m(t) = \frac{\lambda}{\lambda – t} = \lambda(\lambda-t)^{-1}, \quad t < \lambda
\end{align}
$$

モーメント母関数の導出

指数分布$\mathrm{Ex}(\lambda)$のモーメント母関数$m(t)=E[e^{tX}]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
m(t) &= E[e^{tX}] \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{tx} \times \lambda e^{-\lambda x} dx \\
&= \lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda – t) x} dx \\
&= \lambda \left[ – \frac{1}{\lambda – t} e^{-(\lambda – t) x} \right]_{0}^{\infty} \\
&= \frac{\lambda}{\lambda – t}, \quad t < \lambda
\end{align}
$$

モーメント母関数の定義域

指数分布$\mathrm{Ex}(\lambda)$の平均、分散、歪度、尖度の計算

モーメント母関数の導関数

前節で確認を行ったモーメント母関数$m(t)$の導関数は下記のように計算できる。
・$m'(t)$
$$
\large
\begin{align}
m'(t) &= \left( \lambda(\lambda-t)^{-1} \right)’ \\
&= \lambda \times -(\lambda-t)^{-2} \times (\lambda-t)’ \\
&= \lambda(\lambda-t)^{-2}
\end{align}
$$

・$m^{”}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{”}(t) &= \left( \lambda(\lambda-t)^{-2} \right)’ \\
&= 2 \lambda (\lambda-t)^{-3}
\end{align}
$$

・$m^{(3)}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{(3)}(t) &= \left( 2 \lambda (\lambda-t)^{-3} \right)’ \\
&= 3! \lambda (\lambda-t)^{-4}
\end{align}
$$

・$m^{(4)}(t)$
$$
\large
\begin{align}
m^{(4)}(t) &= \left( 3! \lambda (\lambda-t)^{-4} \right)’ \\
&= 4! \lambda (\lambda-t)^{-5}
\end{align}
$$

ここまでで計算を行った導関数より、$E[X]=m'(0), E[X^2]=m^{”}(0), E[X^3]=m^{(3)}(0), E[X^4]=m^{(4)}(0)$の値は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) = \lambda \times (\lambda-0)^{-2} \\
&= \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda} \\
E[X^2] &= m^{”}(0) = 2 \lambda \times (\lambda-0)^{-3} = \frac{2}{\lambda^2} \\
E[X^3] &= m^{(3)}(0) = 3! \lambda \times (\lambda-0)^{-4} = \frac{3!}{\lambda^3} \\
E[X^4] &= m^{(4)}(0) = 4! \lambda \times (\lambda-0)^{-5} = \frac{4!}{\lambda^4}
\end{align}
$$

平均・分散・歪度・尖度の計算

モーメント(moment)を直感的・具体的に理解する　〜平均、分散、歪度、尖度 etc〜

上記を元に、平均$E[X]$、分散$V[X]$、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$をそれぞれ下記のように定める。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) \\
V[X] &= E[(X-E[X])^2] = E[X^2] – E[X]^2 \\
S[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{3} \right] \\
K[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{4} \right] – 3
\end{align}
$$

平均$E[X]=m'(0)$、分散$V[X]=E[X^2]-E[X]^2=m^{”}(0)-m'(0)^2$はそれぞれ下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= m'(0) = \frac{1}{\lambda} \\
V[X] &= E[X^2]-E[X]^2 = m^{”}(0)-m'(0)^2 \\
&= \frac{2}{\lambda^2} – \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
\end{align}
$$

また、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$はそれぞれ下記のように計算できる。
・歪度$S[X]$
$$
\large
\begin{align}
S[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{3} \right] \\
&= \lambda^3 E[(X-E[X])^3] \\
&= \lambda^3 E[X^3 – 3X^2E[X] + 3XE[X]^2 – E[X^3]] \\
&= \lambda^3 (E[X^3] – 3E[X^2]E[X] + 2E[X]^3) \\
&= \lambda^3 \left( \frac{3!}{\lambda^3} – \frac{3 \cdot 2}{\lambda^3} + \frac{2}{\lambda^3} \right) \\
&= \frac{2 \cancel{\lambda^3}}{\cancel{\lambda^3}} = 2
\end{align}
$$

・尖度$K[X]$
$$
\large
\begin{align}
K[X] &= E \left[ \left( \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} \right)^{4} \right] – 3 \\
&= \lambda^4 E[(X-E[X])^4] – 3 \\
&= \lambda^4 E[X^4 – 4X^3E[X] + 6X^2E[X]^2 – 4XE[X]^3 + E[X]^4] – 3 \\
&= \lambda^4 (E[X^4] – 4E[X^3]E[X] + 6E[X^2]E[X]^2 – 3E[X]^4) – 3 \\
&= \lambda^4 \left( \frac{4!}{\lambda^4} – \frac{4!}{\lambda^4} + \frac{6 \cdot 2}{\lambda^4} – \frac{3}{\lambda^4} \right) – 3 \\
&= \frac{9 \cancel{\lambda^4}}{\cancel{\lambda^4}}-3 = 9-3 = 6
\end{align}
$$

したがって、正規分布$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$の平均$E[X]$、分散$V[X]$、歪度$S[X]$、尖度$K[X]$はそれぞれ下記のような値を持つ。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \frac{1}{\lambda} \\
V[X] &= \frac{1}{\lambda^2} \\
S[X] &= 2 \\
K[X] &= 6
\end{align}
$$