当記事は「経済・ファイナンスデータの計量時系列分析(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.2の「ARMA過程」の章末問題の解説について行います。
基本的には書籍の購入者向けの解答例・解説なので、まだ入手されていない方は入手の上、ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。（そのため著者の意図とは異なる解説となる可能性はあります）
また、下記に公式の解答があるので、こちらも合わせて参照ください。
https://www.asakura.co.jp/user_data/contents/12792/3.pdf
Contents
章末の演習問題について
問題2.1の解答例
問題2.2の解答例
・定常なモデル
(a)、(b)、(c)、(d)、(e)
・反転可能なモデル
(a)、(d)、(e)、(f)
問題2.3の解答例
$$
\large
\begin{align}
y_t = \mu + \epsilon_{t} + \theta_{1} \epsilon_{t-1} + \theta_{2} \epsilon_{t-2}, \quad \epsilon_{t} \sim W.N.(\sigma^2)
\end{align}
$$
上記で定義された$MA(2)$過程に関して、以下、計算を行う。
$(1)$
$$
\large
\begin{align}
E[Y_t] &= E[\mu + \epsilon_{t} + \theta_{1} \epsilon_{t-1} + \theta_{2} \epsilon_{t-2}] \\
&= E[\mu] = \mu
\end{align}
$$
$(2)$
$$
\large
\begin{align}
\gamma_{0} &= E[(Y_t-E[Y_t])^2] = E[(Y_t-\mu)^2] \\
&= E[(\epsilon_{t} + \theta_{1} \epsilon_{t-1} + \theta_{2} \epsilon_{t-2})^2] \\
&= E[\epsilon_{t}^2] + \theta_{1}^2 E[\epsilon_{t-1}^2] + \theta_{2}^2 E[\epsilon_{t-2}^2] = (1+\theta_{1}^2+\theta_{2}^2) \sigma^2
\end{align}
$$
$(3)$
$$
\large
\begin{align}
\gamma_{1} &= E[(Y_t-E[Y_t])(Y_{t-1}-E[Y_{t-1}])] = E[(Y_t-\mu)(Y_{t-1}-\mu)] \\
&= E[(\epsilon_{t} + \theta_{1} \epsilon_{t-1} + \theta_{2} \epsilon_{t-2})(\epsilon_{t-1} + \theta_{1} \epsilon_{t-2} + \theta_{2} \epsilon_{t-3})] \\
&= \theta_{1} E[\epsilon_{t-1}^2] + \theta_{1} \theta_{2} E[\epsilon_{t-2}^2] = (\theta_{1}+\theta_{1} \theta_{2}) \sigma^2
\end{align}
$$
$(4)$
$$
\large
\begin{align}
\gamma_{2} &= E[(Y_t-E[Y_t])(Y_{t-2}-E[Y_{t-2}])] = E[(Y_t-\mu)(Y_{t-2}-\mu)] \\
&= E[(\epsilon_{t} + \theta_{1} \epsilon_{t-1} + \theta_{2} \epsilon_{t-2})(\epsilon_{t-2} + \theta_{1} \epsilon_{t-3} + \theta_{2} \epsilon_{t-4})] \\
&= \theta_{2} E[\epsilon_{t-2}^2] = \theta_{2} \sigma^2
\end{align}
$$
$(5)$
$j \geq 3$に関して下記が成り立つ。
$$
\large
\begin{align}
\gamma_{j} &= E[(Y_t-E[Y_t])(Y_{t-j}-E[Y_{t-j}])] = E[(Y_t-\mu)(Y_{t-j}-\mu)] \\
&= E[(\epsilon_{t} + \theta_{1} \epsilon_{t-1} + \theta_{2} \epsilon_{t-2})(\epsilon_{t-j} + \theta_{1} \epsilon_{t-j} + \theta_{2} \epsilon_{t-j})] \\
&= 0
\end{align}
$$
問題2.4の解答例
$1)$
定常条件は$|\phi_1|<1$
$2)$
反転可能条件は$|\theta_1|<1$