過去問題
過去問題は統計検定公式が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。
解答
[1] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{15}\ }$ : ①
- 傘が$0$本の場所から移動する場合は，移動先には必ず$2$本の傘があるため，$p_{11} ,p_{12} = 0$，$p_{13} = 1$がわかる．また，傘は全部で$2$本であり，一度に移動させることができる傘の本数が$1$本であることを考慮すると$p_{12} = p_{33} = 0$もわかる．
- 晴れている場合，傘は移動させないので$p_{22} = p_{31} = 1-\theta$．
- 雨の場合，傘を移動させるので$p_{23} = p_{32} = \theta$．
したがって，これをまとめると \(
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1-\theta & \theta \\
1-\theta & \theta & 0 \\
\end{array}
\right)
\) となる．
[2] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{16}\ }$ : ③
$$
\begin{align*}
&P(X_1 = x_1, X_2 = x_2,\dots , X_8 = x_8) \\
=&P(X_1=x_1)P(X_2=x_2|X_1=x_1)\cdots P(X_8=x_8|X_7=x_7) \\
=&1\cdot P_{22}\cdot P_{23}\cdot P_{31}\cdot P_{13}\cdot P_{32}\cdot P_{22}\cdot P_{22} \\
=&1\cdot (1-\theta)^4 \theta ^2
\end{align*}
$$
となる。$f(\theta) = \theta^2 (1-\theta)^4$とおき、$\theta$で微分すると、$\dfrac{df}{d\theta} = 2\theta(1-\theta)^3(1-3\theta)$となる。$0 < \theta < 1$に注意して増減表を書くと
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\theta & 0 & \cdots & 1/3 & \cdots & 1 \\
\hline
\dfrac{df}{d\theta} & & + & 0 & – &
\end{array}
$$
となる。
したがって、$\theta = \dfrac{1}{3}$で$f$は最大となるので、$\theta$の最尤推定量は約$0.33$である。
なお補足として、上記の$f(\theta)$の微分は積の微分となり、多少複雑である。最尤推定値の導出には、尤度関数の対数をとった対数尤度関数の微分を考えても同じ結果が得られる(参考)。対数尤度関数を考えると、その微分はシンプルな計算になるため$f(\theta)$の微分がわかりにくいと感じた場合は$\log f(\theta)$の微分を考えると良い。
[3] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{17}\ }$ : ④
移動の開始時に傘が$i$本の場所にいる確率を$\pi = (\pi_0, \pi_1, \pi_2)$とおく．定常分布が満たす条件は$\pi = \pi Q$かつ$\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$である．ここで、
$\pi = \pi Q$で，
$$
Q=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2/3 & 1/3 \\
2/3 & 1/3 & 0 \\
\end{array}
\right)
$$
なので（$\theta = 1/3$とした）、
$$
\begin{align*}
(\pi_0 \quad \pi_1 \quad \pi_2) &= (\pi_0 \quad\pi_1 \quad \pi_2) Q\\
&= \left(\dfrac{2}{3}\pi_2 \quad \dfrac{2}{3}\pi_1 + \dfrac{1}{3}\pi_2 \quad \pi_0+\dfrac{1}{3}\pi_1 \right)\\
\end{align*}
$$
よって，次の連立方程式を解けば良い．
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\pi_0 = \dfrac{2}{3}\pi_2\\
\pi_1 = \dfrac{2}{3}\pi_1 + \dfrac{1}{3}\pi_2\\
\pi_2 = \pi_0+\dfrac{1}{3}\pi_1\\
\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1
\end{array}
\right.
\]
これを解いて，$\pi_0 = \dfrac{1}{4}$，$\pi_1 = \dfrac{3}{8}$，$\pi_2 = \dfrac{3}{8}$．