統計検定準1級 問題解説 ~2016年6月実施 選択問題及び部分記述問題 問2~

過去問

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解説

$P(X=1) = P(X=3) = p_1$,$P(X=2) = P(X=4) = p_2$とおく.$E[X] = \dfrac{8}{3}$なので,$p_1\cdot 1 + p_2 \cdot 2 + p_1 \cdot 3 + p_2 \cdot 4 = \dfrac{8}{3}$.また,$2p_1 + 2p_2 = 1$である.これらを解いて,$p_1 = \dfrac{1}{6}$,$p_2 = \dfrac{1}{3}$を得る.

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述3}\ }$ : $\dfrac{11}{9}$
$V[X] = E[X^2] – E[X]^2$ を利用する.
$$
E[X^2] = \dfrac{1}{6}\cdot1^2 + \dfrac{1}{3} \cdot 2^2+ \dfrac{1}{6}\cdot 3^2 + \dfrac{1}{3} \cdot 4^2= \dfrac{25}{3}
$$
したがって,
$$
V[X] = \dfrac{25}{3} – \left( \dfrac{8}{3}\right)^2 = \dfrac{11}{9}
$$
である.

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述4}\ }$ : $\dfrac{7}{36}$
$1$ 回目に出た目を $x$,$2$ 回目に出た目を $y$ とすると,$Y=3$ となるのは,$(1,3)$,$(2,3)$,$(3,3)$,$(3,1)$,$(3,2)$ の $5$ 通りのみ.それぞれが起こる確率は $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2$,$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{6}$,$\left(\dfrac{1}{6}\right)^2$,$\left(\dfrac{1}{6}\right)^2$,$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{6}$ であるから,
$$
P(Y=3) = \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\cdot 2 + \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{6}\cdot 2 + \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{7}{36}
$$
である.