統計検定準1級問題解説 ~2021年6月実施 選択問題及び部分記述問題 問3~

過去問題

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解答

$\boxed{ \ \mathsf{1}\ }$
$\boxed{ \ \mathsf{2}\ }$

[1] 2つの確率変数の和・差の期待値と分散を求める。$$
\begin{align}
E(X+Y)=&E(X)+E(Y)=1+2=3\\
E(Y-Z)=&E(Y)-E(Z)=2-3=-1\\
V(X+Y)=&V(X)+V(Y)+2\mathrm{cov}(X,Y)=2+3-2\times0=5\\
V(Y-Z)=&V(Y)+V(Z)-2\mathrm{cov}(Y,Z)=3+4-2\times2=3\\
\mathrm{cov}(X+Y,Y-Z)=&E((X+Y)(Y-Z))-E(X+Y)E(Y-Z)\\
=&E(XY-XZ+Y^2-YZ)-(E(X)+E(Y))(E(Y)-E(Z))\\
=&E(XY)-E(XZ)+E(Y^2)-E(YZ)\\&-E(X)E(Y)+E(X)E(Z)-E(Y)E(Y)+E(Y)E(Z)\\
=&E(XY)-E(X)E(Y)-\{E(XZ)-E(X)E(Z)\}\\&+E(Y^2)-E(Y)^2-\{E(YZ)-E(Y)E(Z)\}\\
=&\mathrm{cov}(X,Y)-\mathrm{cov}(X,Z)+V(Y)-\mathrm{cov}(Y,Z)\\
=&0-1+3-2=0\\
\end{align}$$
多変量正規分布に従う確率変数の和や差に関する性質を用いると、$\displaystyle\begin{pmatrix}X+Y\\Y-Z\end{pmatrix}$の分布は多変量正規分布
$$N\left(\begin{pmatrix}E(X+Y)\\E(Y-Z)\end{pmatrix},\begin{pmatrix}V(X+Y)&\mathrm{cov}(X+Y,Y-Z)\\\mathrm{cov}(X+Y,Y-Z)&V(Y-Z)\end{pmatrix}\right)=N\left(\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}\right)$$
に従う。

[2]
$p$次元のベクトル$\mathbf{x}$が平均$\mathbf{\mu}$、共分散行列$\mathbf{\Sigma}$の多変量正規分布に従うとする。$$\mathbf{x}\sim N(\mathbf{\mu},\ \mathbf{\Sigma})$$
ここで、$\mathbf{x}$を$q$次元のベクトル$\mathbf{x}_1$と$p-q$次元のベクトル$\mathbf{x}_2$に分割することを考える。$$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}\mathbf{x}_1\\\mathbf{x}_2\end{pmatrix},\quad\mathbf{x}_1=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_q\end{pmatrix},\ \mathbf{x}_2=\begin{pmatrix}x_{q+1}\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}$$
平均ベクトル、共分散行列も同じように$q$次元で分割すれば、$$\begin{pmatrix}\mathbf{x}_1\\\mathbf{x}_2\end{pmatrix}\sim N\left(\begin{pmatrix}\mathbf{\mu}_1\\\mathbf{\mu}_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\mathbf{\Sigma}_{11}&\mathbf{\Sigma}_{12}\\\mathbf{\Sigma}_{21}&\mathbf{\Sigma}_{22}\end{pmatrix}\right)$$
と表わすことができる。このとき、$\mathbf{x}_1$を固定したときの条件付き確率は$$p(\mathbf{x}_2|\mathbf{x}_1)=N(\mathbf{\mu}_2+\mathbf{\Sigma}_{21}\mathbf{\Sigma}_{11}^{-1}(\mathbf{x}_1-\mathbf{\mu}_1),\ \mathbf{\Sigma}_{22}-\mathbf{\Sigma}_{21}\mathbf{\Sigma}_{11}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{12})$$となる。
これを問題に適用すると、$$\mathbf{\mu}_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\ \mathbf{\mu}_2=3,\ \mathbf{\Sigma}_{11}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix},\ \mathbf{\Sigma}_{12}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\ \mathbf{\Sigma}_{21}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix},\ \mathbf{\Sigma}_{22}=4$$となり、$X=x,\ Y=y$を与えたときの$Z$の条件付き分布の期待値と分散は、
$$\begin{align}
E[Z|Y=y, X=x]&=\mathbf{\mu}_2+\mathbf{\Sigma}_{21}\mathbf{\Sigma}_{11}^{-1}(\mathbf{x}_1-\mathbf{\mu}_1)\\&=3+\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}^{-1}\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right)\\&=3+\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}\\&=3+\begin{pmatrix}1/2&2/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}\\&=\frac12x+\frac23y+\frac76\\
V[Z|Y=y, X=x]&=\mathbf{\Sigma}_{22}-\mathbf{\Sigma}_{21}\mathbf{\Sigma}_{11}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{12}\\&=4-\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\&=4-\begin{pmatrix}1/2&2/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{13}{6}\end{align}$$