統計検定準1級 問題解説 ~2018年6月実施 問6 混合分布~

解答

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{6}\ }$ : ③

Aさん、Bさんの偏差値はそれぞれ下記のように計算できる。
・Aさん
$$
\large
\begin{align}
50 + 10 \times \frac{64-65}{5} &= 50 + 10 \times -0.2 \\
&= 48
\end{align}
$$

・Bさん
$$
\large
\begin{align}
50 + 10 \times \frac{86-80}{3} &= 50 + 10 \times 2 \\
&= 70
\end{align}
$$

上記より、③が正解だとわかる。

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{7}\ }$ : ②

$2$つの山があり、右側の山が左側の山よりも分散が小さいことが必要条件であるが、②のみがこのことを反映しているので②が正しいとわかる。

[3] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{8}\ }$ : ④

$$
\large
\begin{align}
\Phi(z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx
\end{align}
$$
上記のように標準正規分布の累積密度関数$\Phi(z)$を定義する。

ここで得点が$60$点以上である確率を$P(X \geq 60)$のようにおくと、$P(X \geq 60)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(X \geq 60) & \simeq \frac{2}{3} \left( 1-\Phi \left( \frac{60-65}{5} \right) \right) + \frac{1}{3} \left( 1-\Phi \left( \frac{60-80}{3} \right) \right) \\
&= \frac{2}{3} (1-\Phi (-1)) + \frac{1}{3} (1-\Phi(-6.67)) \\
&= \frac{2}{3} (1-0.1587) + \frac{1}{3} \simeq 0.8942
\end{align}
$$

上記より、④のおよそ$90$%が正しいことがわかる。

解説

一般的な標準偏差の問題なので、準1級の出題の中では解きやすいと思われました。$[3]$に関してはある程度数式表記を元に計算できるようにしておくと多少イレギュラーな問題にも対応しやすいと思われるので、数式を元にした計算の流れは抑えておくと良いと思います。

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