問題
過去問題は統計検定公式が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。
解答
[1] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{記述1}\ }$ ： $50$％
事象$X$が感染、事象$A_1$が検査$1$に陽性を表すとそれぞれ定義する。また、事象$X$の余事象を$X^{c}$のように表すと考える。
このとき、事後確率$P(X|A_1)$はベイズの定理を用いて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(X|A_1) &= \frac{P(A_1|X)P(X)}{P(A_1)} \\
&= \frac{P(A_1|X)P(X)}{P(A_1)P(X) + P(A_1)P(X^c)} \\
&= \frac{0.999 \times 0.001}{0.999 \times 0.001 + 0.001 \times 0.999} = 0.5
\end{align}
$$
上記が検査$1$に陽性だった場合の本当に確率している確率を表す。
[2] 解答
$\boxed{ \ \mathsf{記述2}\ }$ ： $95$％
[1]で行なった定義に加えて、事象$A_2$は検査$2$に陽性を表すと定義する。
このとき、事後確率$P(X|A_1, A_2)$はベイズの定理を用いて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(X|A_1, A_2) &= \frac{P(A_2|X,A_1)P(X,A_1)}{P(A_1, A_2)} \\
&= \frac{P(A_2|X,A_1)P(X,A_1)}{P(A_2|X,A_1)P(X,A_1) + P(A_2|X^{c},A_1)P(X^{c},A_1)} \\
&= \frac{0.95 \times 0.5}{0.95 \times 0.5 + 0.05 \times 0.5} = 0.95
\end{align}
$$
上記が検査$1$、検査$2$に陽性だった場合の本当に確率している確率を表す。
解説
分母の計算に用いた$P(A_1)=P(A_1)P(X) + P(A_1)P(X^{c})$や$P(A_1, A_2)=P(A_2|X,A_1)P(X,A_1) + P(A_2|X^{c},A_1)P(X^{c},A_1)$で表される全確率の公式はよく用いられるので抑えておくと良いと思います。
参考
・準1級関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/toukeikentei-semi1