統計検定準1級 問題解説 ~2018年6月実施 問1 検査と事後確率の解釈~

解答

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述1}\ }$ : $50$%

事象$X$が感染、事象$A_1$が検査$1$に陽性を表すとそれぞれ定義する。また、事象$X$の余事象を$X^{c}$のように表すと考える。

このとき、事後確率$P(X|A_1)$はベイズの定理を用いて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(X|A_1) &= \frac{P(A_1|X)P(X)}{P(A_1)} \\
&= \frac{P(A_1|X)P(X)}{P(A_1)P(X) + P(A_1)P(X^c)} \\
&= \frac{0.999 \times 0.001}{0.999 \times 0.001 + 0.001 \times 0.999} = 0.5
\end{align}
$$

上記が検査$1$に陽性だった場合の本当に確率している確率を表す。

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{記述2}\ }$ : $95$%

[1]で行なった定義に加えて、事象$A_2$は検査$2$に陽性を表すと定義する。

このとき、事後確率$P(X|A_1, A_2)$はベイズの定理を用いて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(X|A_1, A_2) &= \frac{P(A_2|X,A_1)P(X,A_1)}{P(A_1, A_2)} \\
&= \frac{P(A_2|X,A_1)P(X,A_1)}{P(A_2|X,A_1)P(X,A_1) + P(A_2|X^{c},A_1)P(X^{c},A_1)} \\
&= \frac{0.95 \times 0.5}{0.95 \times 0.5 + 0.05 \times 0.5} = 0.95
\end{align}
$$

上記が検査$1$、検査$2$に陽性だった場合の本当に確率している確率を表す。

解説

分母の計算に用いた$P(A_1)=P(A_1)P(X) + P(A_1)P(X^{c})$や$P(A_1, A_2)=P(A_2|X,A_1)P(X,A_1) + P(A_2|X^{c},A_1)P(X^{c},A_1)$で表される全確率の公式はよく用いられるので抑えておくと良いと思います。