数学検定$2$級は数ⅡBまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $2$級」より、第$7$章の「確率分布」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定$2$級まとめ
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Contents
本章のまとめ
演習
計算技能問題
問題.$1$
$[1]$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}
\end{align}
$$
$[2]$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{7}
\end{align}
$$
$[3]$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\end{align}
$$
問題.$2$
確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$である。
問題.$3$
$[1]$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}
\end{align}
$$
$[2]$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10} \\
&= \frac{3}{5}
\end{align}
$$
問題.$4$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} &= \frac{1}{5} + \frac{3}{20} + \frac{1}{10} \\
&= \frac{9}{20}
\end{align}
$$
$[3]$
$$
\large
\begin{align}
1 – \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} &= 1 – \frac{1}{30} \\
&= \frac{29}{30}
\end{align}
$$
問題.$5$
$[1]$
確率分布は下記のように表される。
| $X$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
| $P(X=k)$ | $\displaystyle \frac{1}{10}$ | $\displaystyle \frac{1}{10}$ | $\displaystyle \frac{2}{10}$ | $\displaystyle \frac{2}{10}$ | $\displaystyle \frac{2}{10}$ | $\displaystyle \frac{1}{10}$ | $\displaystyle \frac{1}{10}$ |
$[2]$
平均$E[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \frac{1}{10}(6+7+11+12) + \frac{2}{10}(8+9+10) \\
&= \frac{90}{10} \\
&= 9
\end{align}
$$
$[3]$
$E[X^2]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X^2] &= \frac{1}{10}(6^2+7^2+11^2+12^2) + \frac{2}{10}(8^2+9^2+10^2) \\
&= \frac{840}{10} \\
&= 84
\end{align}
$$
ここで$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$より、分散$V[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= 84 – 9^2 \\
&= 3
\end{align}
$$
問題.$6$
$[1]$
確率分布は下記のように表せる。
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $P(X=k)$ | $\displaystyle \frac{1}{16}$ | $\displaystyle \frac{4}{16}$ | $\displaystyle \frac{6}{16}$ | $\displaystyle \frac{4}{16}$ | $\displaystyle \frac{1}{16}$ |
$[2]$
平均$E[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \frac{1}{16}(0+4) + \frac{4}{16}(1+3) + \frac{6}{16} \cdot 2 \\
&= \frac{4 + 16 + 12}{16} \\
&= 2
\end{align}
$$
$[3]$
$E[X^2]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X^2] &= \frac{1}{16}(0^2+4^2) + \frac{4}{16}(1^2+3^2) + \frac{6}{16} \cdot 2^2 \\
&= \frac{80}{16} \\
&= 5
\end{align}
$$
ここで$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$より、分散$V[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= 5 – 2^2 \\
&= 1
\end{align}
$$
数理技能問題
問題.$1$
下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{2}{3} \times \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{12}
\end{align}
$$
問題.$2$
$$
\large
\begin{align}
\frac{0.8 \cdot 0.2}{0.2 + 0.8 \cdot 0.2 + 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2} &= \frac{160}{200 + 160 + 128} \\
&= \frac{160}{488} \\
&= \frac{20}{61}
\end{align}
$$
問題.$3$
下記のように計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{300(1-0.05)}{300(1-0.05)+200(1-0.06)} = \frac{285}{473}
\end{align}
$$
問題.$4$
下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{1}{3} \right)^{3} + {}_3 C_1 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{1}{3} \right)^{3} + {}_4 C_2 \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{3} &= \left( \frac{1}{3} \right)^{3} \left[ 1 + \frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{6 \cdot 4}{3^2} \right] \\
&= \left( \frac{1}{3} \right)^{3} \cdot \frac{3 + 6 + 8}{3} \\
&= \frac{17}{81}
\end{align}
$$
問題.$5$
$[1]$
確率分布は下記のように表せる。
| $X$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| 計算式 | $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{4} \times 2$ | $\displaystyle {}_{4} C_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{5} \times 2$ | $\displaystyle {}_{5} C_{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{6} \times 2$ | $\displaystyle {}_{6} C_{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{7} \times 2$ |
| $P(X=k)$ | $\displaystyle \frac{1}{8}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{5}{16}$ | $\displaystyle \frac{5}{16}$ |
$[2]$
平均$E[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= 4 \cdot \frac{1}{8} + 5 \cdot \frac{1}{4} (6+7) \cdot \cdot \frac{5}{16} \\
&= \frac{4 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 5}{16} \\
&= \frac{93}{16} = 5.8125
\end{align}
$$
$[3]$
$E[X^2]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= 4^2 \cdot \frac{1}{8} + 5^2 \cdot \frac{1}{4} (6^2+7^2) \cdot \cdot \frac{5}{16} \\
&= \frac{4^2 \cdot 2 + 5^2 \cdot 4 + 6^2 \cdot 5 + 7^2 \cdot 5}{16} \\
&= \frac{557}{16}
\end{align}
$$
ここで$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$より、分散$V[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\
&= \frac{557}{16} – \left( \frac{93}{16} \right)^2 \\
&= \frac{263}{256}
\end{align}
$$