数学検定$2$級は数ⅡBまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $2$級」より、第$1$章の「指数関数・対数関数」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定$2$級まとめ
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Contents
本章のまとめ
指数関数
対数関数
演習
計算技能問題
問題.$1$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\sqrt[3]{5} \div (\sqrt[4]{5})^2 \times \sqrt[3]{5^4} &= 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{-\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{4}{3}} \\
&= 5^{\frac{1}{3} -\frac{1}{2} + \frac{4}{3}} \\
&= 5^{\frac{7}{6}} = 5 \sqrt[6]{5}
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
(9^{\frac{2}{3}} \times 3^{-2})^{\frac{3}{2}} &= (3^{\frac{4}{3}} \times 3^{-2})^{\frac{3}{2}} \\
&= (3^{-\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \\
&= 3^{-1} = \frac{1}{3}
\end{align}
$$
$[3]$
$$
\large
\begin{align}
(4^{\frac{1}{4}} + 4^{-\frac{1}{4}})(4^{\frac{1}{4}} – 4^{-\frac{1}{4}}) &= (2^{\frac{1}{2}} + 2^{-\frac{1}{2}})(2^{\frac{1}{2}} – 2^{-\frac{1}{2}}) \\
&= 2^{1} – 2^{-1} = \frac{3}{2}
\end{align}
$$
$[4]$
$$
\large
\begin{align}
\log_{3}{8} \log_{4}{9} &= 3 \log_{3}{2} \times \frac{\log_{3}{9}}{\log_{3}{4}} \\
&= 3 \cancel{\log_{3}{2}} \times \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cancel{\log_{3}{2}}} \\
&= 3
\end{align}
$$
$[5]$
$$
\large
\begin{align}
\log_{2}{48} – \log_{4}{36} &= \log_{2}{48} – \frac{\log_{2}{36}}{\log_{2}{4}} \\
&= \log_{2}{48} – \log_{2}{\sqrt{36}} \\
&= \log_{2}{48} – \log_{2}{6} \\
&= \log_{2}{\frac{48}{6}} \\
&= \log_{2}{8} = 3
\end{align}
$$
$[6]$
$$
\large
\begin{align}
(\log_{6}{4}+\log_{6}{9})^{2} &= (\log_{6}{36})^{2} \\
&= 2^2 = 4
\end{align}
$$
問題.$2$
$[1]$
$\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{4}, \sqrt[9]{16}$はそれぞれ下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}} \\
\sqrt[3]{2} &= 2^{\frac{1}{3}} \\
\sqrt[5]{4} &= 2^{\frac{2}{5}} \\
\sqrt[9]{16} &= 2^{\frac{4}{9}}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$より、$\sqrt[3]{2} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[9]{16} < \sqrt{2}$である。
$[2]$
$\displaystyle \log_{4}{7}, \frac{3}{2}$はそれぞれ下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{4}{7} &= \frac{\log_{2}{7}}{\log_{2}{4}} \\
&= \frac{1}{2} \log_{2}{7} \\
&= \log_{2}{\sqrt{7}} \\
\frac{3}{2} &= \log_{2}{2^{\frac{3}{2}}} \\
&= \log_{2}{2 \sqrt{2}}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \sqrt{7} < 2 \sqrt{2} < 3$より、$\displaystyle \log_{4}{7} < \frac{3}{2} < \log_{2}{3}$である。
問題.$3$
$[1]$
$4^{3x-1}=(\sqrt{2})^{x}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
4^{3x-1} &= (\sqrt{2})^{x} \\
2^{2(3x-1)} &= 2^{\frac{x}{2}}
\end{align}
$$
上記より$x$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
2(3x-1) &= \frac{x}{2} \\
\frac{11}{2} x &= 2 \\
x &= \frac{4}{11}
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
2^{2x} – 6 \cdot 2^{x+1} + 32 &= 0 \\
(2^{x} – 4)(2^{x} – 8) &= 0 \\
2^{x} &= 4, 8
\end{align}
$$
上記より$x=2,3$である。
$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{1}{4} \right)^{x} & \geq \left( \frac{1}{8} \right) \\
\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3}
\end{align}
$$
上記より$2x \leq 3$であるので、$\displaystyle x \leq \frac{3}{2}$が得られる。
$[4]$
$$
\large
\begin{align}
2^{2x} – 2^{x+3} & \geq 0 \\
2^{2x} & \geq 2^{x+3}
\end{align}
$$
上記より$2x \geq x+3$であるので$x \geq 3$が得られる。
問題.$4$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\log_{3}{(2x-1)} &= 2 \\
\log_{3}{(2x-1)} &= \log_{3}{3^2}
\end{align}
$$
上記より$2x-1=3^2$であるので、下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
2x-1 &= 3^2 \\
2x &= 10 \\
x &= 5
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
(\log_{5}{x})^2 – 3 \log_{5}{x} + 2 &= 0 \\
(\log_{5}{x} – 1)(\log_{5}{x} – 2) &= 0 \\
\log_{5}{x} &= 1, 2
\end{align}
$$
上記より$x=5,25$が得られる。
$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\log_{2}{x} + \log_{2}{(x-1)} & \leq 1 \\
\log_{2}{(x^2-x)} & \leq \log_{2}{2}
\end{align}
$$
上記より$x^2-x \leq 2$が必要条件であるので、下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
x^2-x & \leq 2 \\
(x+1)(x-2) & \leq 0 \\
-1 \leq & x \leq 2
\end{align}
$$
ここで対数関数の定義域に関して$x>0, x-1>0$より、$x>1$であるから、$1 < x \leq 2$が得られる。
問題.$5$
$[1]$
$\log_{10}{6^{20}}$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{10}{6^{20}} &= 20 \log_{10}{6} \\
&= 20 (\log_{10}{2} + \log_{10}{3}) \\
&= 20 \times (0.301 + 0.4771) = 15.562
\end{align}
$$
上記より$10^{15} < 10^{\log_{10}{6^{20}}} < 10^{16}$であり、$6^{20} = 10^{\log_{10}{6^{20}}}$であるので$6^{20}$は16桁の数である。
$[2]$
$\displaystyle \log_{10}{\left( \frac{1}{2} \right)^{20}}$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{10}{\left( \frac{1}{2} \right)^{20}} &= \log_{10}{2^{-20}} \\
&= -20 \log_{2}{10} \\
&= -20 \times 0.301 = -6.02
\end{align}
$$
上記より$\displaystyle 10^{-7} < 10^{\log_{10}{\left( \frac{1}{2} \right)^{20}}} < 10^{-6}$であり、$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{20} = 10^{\log_{10}{\left( \frac{1}{2} \right)^{20}}}$であるので最初に$0$ではない数字が現れるのは少数第$7$位である。
問題.$6$
$t = 2^x + 2^{-x}$より$t^2$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
t^2 &= (2^x + 2^{-x})^2 \\
&= 2^{2x} + 2^{-2x} + 2 \cdot \cancel{2^x} \cdot \cancel{2^{-x}} \\
&= 2^{2x} + 2^{-2x} + 2
\end{align}
$$
このとき$y=2^{2x}+2^{x}+2^{-x}+2^{-2x}$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
y &= 2^{2x} + 2^{x} + 2^{-x} + 2^{-2x} \\
&= (2^{2x} + 2^{x} + 2) + (2^{-x} + 2^{-2x}) – 2 \\
&= t^2 + t -2
\end{align}
$$
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
$\displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2} – f \left( \frac{x+y}{2} \right)$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{f(x)+f(y)}{2} – f \left( \frac{x+y}{2} \right) &= \frac{3^{x}+3^{y}}{2} – 3^{\frac{x+y}{2}} \\
&= \frac{1}{2} (3^{x} + 3^{y} – 2 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{\frac{y}{2}}) \\
&= \frac{1}{2}(3^{\frac{x}{2}}-3^{\frac{y}{2}})^{2} \geq 0
\end{align}
$$
上記より下記の不等式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{f(x)+f(y)}{2} \geq f \left( \frac{x+y}{2} \right)
\end{align}
$$
問題.$3$
$y=4^x-2^{x+1}-1$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
y &= 4^x – 2^{x+1} – 1 \\
&= (2^{x})^2 – 2 \cdot 2^{x} – 1 \\
&= (2^{x}-1)^2 -2
\end{align}
$$
$2^{x}$を変数と見るとき指数関数の定義より定義域は$2^x>0$である。よって$2^x=1, x=0$のとき$y$は最小値$-2$をとる。
問題.$4$
$x=\log_{a}{M}, y=\log_{a}{N}$とおくと対数の定義より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a^{x} &= M \\
a^{y} &= N
\end{align}
$$
ここで$MN$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
MN &= a^{x} a^{y} \\
&= a^{x+y}
\end{align}
$$
上記に対数の定義を適用すると下記が成立することが確認できる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{a}{MN} &= x + y \\
&= \log_{a}{M} + \log_{a}{N}
\end{align}
$$
問題.$5$
$2^5 < 50 < 2^6$より$n=5$である。
問題.$6$
$\log_{10}{5^{n}}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{10}{5^{n}} &= n \log_{10}{5} \\
&= n \log_{10}{\frac{10}{2}} \\
&= n(\log_{10}{10} – \log_{10}{2}) \\
&= n(1 – 0.301) \\
&= 0.699 n
\end{align}
$$
ここで$5^{n}$が$15$桁の数字であるので、$14 \leq 0.699n < 15$が成立すれば良い。$\displaystyle \frac{14}{0.699} = 20.028 \cdots, \frac{15}{0.699} = 21.459 \cdots$であるので、$n=21$である。
問題.$7$
$47^{100}$が$168$桁の数であるから下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
167 \leq & \log_{10}{47^{100}} < 168 \\
167 \leq & 100 \log_{10}{47} < 168 \\
1.67 \leq & \log_{10}{47} < 1.68
\end{align}
$$
上記より$47^{17}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
1.67 \leq & \log_{10}{47} < 1.68 \\
17 \times 1.67 \leq & 17 \log_{10}{47} < 17 \times 1.68 \\
28.39 \leq & \log_{10}{47^{17}} < 28.56
\end{align}
$$
上記より$47^{17}$は$29$桁の数である。
問題.$8$
$n$年後に$2$倍になるとおくと、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
1.08^{n} & \geq 2 \\
n \log_{10}{\frac{108}{100}} & \geq \log_{10}{2} \\
n(\log_{10}{108} – \log_{10}{100}) & \geq \log_{10}{2} \\
n(\log_{10}{(2^2 \times 3^3)} – \log_{10}{10^2}) & \geq \log_{10}{2} \\
n & \geq \frac{\log_{10}{2}}{\log_{10}{2^2 \times 3^3} – \log_{10}{10^2})} \\
n & \geq 9.039 \cdots
\end{align}
$$
よって、元金が$2$倍になるのは$10$年後である。