当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$2$の「和と積」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$2.1$
問題$2.2$
$$
\large
\begin{align}
f(x) = \frac{x}{1-x}
\end{align}
$$
・$[1]$
$|x|<1$のとき下記が成立する。
$$
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\begin{align}
1+x+x^2+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1-x}
\end{align}
$$
よって$f(x)$は下記のような$x$のべき乗で表せる。
$$
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\begin{align}
f(x) &= \frac{x}{1-x} \\
&= x \times \frac{1}{1-x} \\
&= x \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}
\end{align}
$$
・$[2]$
$|1/x|<1$のとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \cdots &= \frac{1}{1-1/x} \\
&= \frac{1}{\displaystyle \frac{x-1}{x}} \\
&= \frac{x}{x-1} = -f(x)
\end{align}
$$
よって$f(x)$は下記のような$1/x$のべき乗で表せる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= -\frac{x}{x-1} \\
&= -\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{x} \right)^{k}
\end{align}
$$