Ch.15 「2次形式」の演習問題の解答例 〜統計学のための数学入門30講(朝倉書店)〜

当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$15$の「$2$次形式」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat

本章のまとめ

演習問題解答

問題$15.1$

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{x} = \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right), \, \mathbf{y} = \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right), \, \mathbf{z} = \left( \begin{array}{cc} 2 \\ -1 \\ c \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[1]$
$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$の内積は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} &= \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \\
&= -2 + 2 + 6 = 6
\end{align}
$$

・$[2]$
$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$に平行な単位ベクトルは下記のように考えられる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{x} &= \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \propto \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \\
\mathbf{y} &= \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \propto \frac{1}{\sqrt{14}} \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[3]$
$\mathbf{x}$と$\mathbf{z}$が直交するとき、$\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} = 0$が成立するので、$c$は下記より定められる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} &= \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 2 \\ -1 \\ c \end{array} \right) \\
&= 4 – 1 + 2c = 0 \\
c &= -\frac{3}{2}
\end{align}
$$

・$[4]$
$2 \mathbf{x} – \mathbf{y}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
2\mathbf{x} – \mathbf{y} &= 2 \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) – \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よって$||2 \mathbf{x} – \mathbf{y}||^{2}$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
||2 \mathbf{x} – \mathbf{y}||^{2} &= 5^2 + 0^2 + 1^2 \\
&= 26
\end{align}
$$

問題$15.2$

・$[1]$
・$[2]$
・$[3]$
・$[4]$