当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$15$の「$2$次形式」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$15.1$
$$
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\begin{align}
\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right), \, \mathbf{y} = \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right), \, \mathbf{z} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ c \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[1]$
$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$の内積は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \\
&= -2 + 2 + 6 = 6
\end{align}
$$
・$[2]$
$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$に平行な単位ベクトルは下記のように考えられる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{x} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \propto \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \\
\mathbf{y} &= \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \propto \frac{1}{\sqrt{14}} \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[3]$
$\mathbf{x}$と$\mathbf{z}$が直交するとき、$\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} = 0$が成立するので、$c$は下記より定められる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ c \end{array} \right) \\
&= 4 \, – \, 1 + 2c = 0 \\
c &= -\frac{3}{2}
\end{align}
$$
・$[4]$
$2 \mathbf{x} \, – \, \mathbf{y}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
2\mathbf{x} \, – \, \mathbf{y} &= 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) – \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって$||2 \mathbf{x} \, – \, \mathbf{y}||^{2}$は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
||2 \mathbf{x} \, – \, \mathbf{y}||^{2} &= 5^2 + 0^2 + 1^2 \\
&= 26
\end{align}
$$
問題$15.2$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array} \right), \, B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & -5 \\ -3 & 1 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
AB &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & -5 \\ -3 & 1 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 13 & 0 & -3 \\ -17 & -2 & 14 \\ 28 & 3 & -11 \end{array} \right) \\
BA &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & -5 \\ -3 & 1 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -19 & 17 & -19 \\ 1 & 2 & 1 \\ 12 & -11 & 17 \end{array} \right) \\
B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4 \\ 3 & 1 & -1 \\ -5 & 2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 13 & -17 & 28 \\ 0 & -2 & 3 \\ -3 & 14 & -11 \end{array} \right) \\
A^{\mathrm{T}} A &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 14 & -13 & 16 \\ -13 & 14 & -13 \\ 16 & -13 & 21 \end{array} \right) \\
A A^{\mathrm{T}} &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 6 & -7 & 13 \\ -7 & 14 & -16 \\ 13 & -16 & 29 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[2]$
$[1]$の計算結果より確認できる。
・$[3]$
$\mathrm{tr}(AB), \, \mathrm{tr}(BA)$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\mathrm{tr}(AB) &= 13 \, – \, 2 \, – \, 11 = 0 \\
\mathrm{tr}(BA) &= -19 + 2 + 17 = 0
\end{align}
$$
上記より$\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$が成立することが確認できる。
・$[4]$
$\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}} A), \, \mathrm{tr}(A A^{\mathrm{T}})$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}} A) &= 14 + 14 + 21 = 49 \\
\mathrm{tr}(A A^{\mathrm{T}}) &= 6 + 14 + 29 = 49
\end{align}
$$
上記より$\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}} A) = \mathrm{tr}(A A^{\mathrm{T}})$が成立することが確認できる。