当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$10$の「定積分の計算」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$10.1$
・$[1]$
部分積分法に基づいて下記のように定積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{2} x \log{x} dx &= \left[ \frac{1}{2} x^2 \log{x} \right]_{1}^{2} – \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \\
&= 2 \log{x} – \frac{1}{2^2} \left[ x^2 \right]_{1}^{2} \\
&= 2 \log{x} – \frac{3}{4}
\end{align}
$$
・$[2]$
下記のように定積分の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} x (1-x)^{4} dx &= \left[ -\frac{1}{5} x (1-x)^{5} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \int_{0}^{1} (1-x)^{5} dx \\
&= 0 – \frac{1}{5 \cdot 6} \left[ (1-x)^{6} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{30}
\end{align}
$$
問題$10.2$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} x \sqrt{x^2+1} dx &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^2+1)^{\frac{1}{2}} (x^2+1)’ dx \\
&= \frac{1}{\cancel{2}} \left[ \frac{\cancel{2}}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{3}(2^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)
\end{align}
$$
・$[2]$
$t = 1+\sqrt{x}$とおくと、$x=(t-1)^{2}, dx = 2(t-1) dt$が同時に成立する。また、$x$と$t$の値は下記のように対応する。
| $x$ | $0 \to 1$ |
| $t$ | $1 \to 2$ |
このとき置換積分法を用いて定積分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int_{0}^{1} \log{(1+\sqrt{x})} dx &= \int_{1}^{2} \log{t} \cdot 2(t-1) dt \\
&= \int_{1}^{2} ((t-1)^{2})’ \log{t} dt \\
&= \left[ (t-1)^{2} \log{t} \right]_{1}^{2} – \int_{1}^{2} \frac{(t-1)^2}{t} dt \\
&= \log{2} – \left[ \frac{1}{2}t^2 – 2t + \log{t} \right]_{1}^{2} \\
&= \cancel{\log{2}} – \left[ \left( 2 – 4 + \cancel{\log{2}} \right) – \left( \frac{1}{2} – 2 \right) \right] \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$