スターリングの近似(Stirling’s approximation)まとめ

スターリングの近似(Stirling’s approximation)は$t$分布の極限やエントロピーを考える際に出てくるなど応用範囲が広い一方で、式のみが出てくることが多く、解説されている機会が少ないように思われる。そこで当記事ではスターリングの近似のまとめを行なった。

$\log{n!} \simeq n \log{n} – n$の導出

$f(x)=\log{x}$を用いた上側からの評価

$f(x)=\log{x}$の区間$[1,n]$の定積分の$\displaystyle \int_{1}^{n} \log{x} dx$と$\log{1}+\log{2}+…+\log{(n-1)} = \log{(n-1)!}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\log{1}+\log{2}…\log{(n-1)} &< \int_{1}^{n} \log{x} dx \\
\log{(n-1)!} &< \left[ x \log{x} – x \right]_{1}^{n} \\
\log{(n-1)!} &< n \log{n} – n + 1
\end{align}
$$

上記の両辺に$\log{n}$を加えると下記が導出できる。
$$
\large
\begin{align}
\log{(n-1)!} + \log{n} &< n \log{n} – n + 1 + \log{n} \\
\log{n!} &< (n+1) \log{n} – n + 1
\end{align}
$$

上記が$\log{n!}$の上からの評価と考えることができる。

$f(x)=\log{x}$を用いた下側からの評価

$f(x)=\log{x}$の区間$[1,n]$の定積分の$\displaystyle \int_{1}^{n} \log{x} dx$と$\log{2}+\log{3}+…+\log{n} = \log{n!}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\int_{1}^{n} \log{x} dx &< \log{2}+…+\log{n} \\
\int_{1}^{n} \log{x} dx &< \log{n!} \\
n \log{n} – n + 1 &< \log{n!}
\end{align}
$$

上記が$\log{n!}$の下からの評価と考えることができる。

$\log{n!} \simeq n \log{n} – n$の導出

ここまでの導出を整理すると、$\log{n!}$に関して下記のような評価式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
n \log{n} – n + 1 < \log{n!} < (n+1) \log{n} – n + 1
\end{align}
$$

上記の両辺を$n \log{n} – n$で割ると、$n \log{n} – n > 0$より、下記のように変形ができる。
$$
\large
\begin{align}
n \log{n} – n + 1 < & \log{n!} < (n+1) \log{n} – n + 1 \\
\frac{n \log{n} – n + 1}{n \log{n} – n} < & \frac{\log{n!}}{n \log{n} – n} < \frac{(n+1) \log{n} – n + 1}{n \log{n} – n} \\
1 + \frac{1}{n \log{n} – n} < & \frac{\log{n!}}{n \log{n} – n} < 1 + \frac{\log{n} + 1}{n \log{n} – n}
\end{align}
$$

$n \to \infty$のとき両端が$1$に収束することより、$\displaystyle \frac{\log{n!}}{n \log{n} – n}$も$1$に収束する。よって、下記のような近似を考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\log{n!} \simeq n \log{n} – n
\end{align}
$$

$\displaystyle n! \simeq \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$

$\displaystyle n! \simeq \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$の形の近似式は下記などで用いられる。
https://www.hello-statisticians.com/explain-books-cat/math_stat_practice_ch4.html#45