確率変数の変換と対数正規分布(log-normal distribution)の導出

確率変数$X$に対してその関数の$X^2$や$\log{X}$などの確率分布を求めたい場合がある。この際に重要となるのが「確率変数の変換」という考え方である。当記事では「確率変数の変換」を具体的に考えるにあたって、「対数正規分布(log-normal distribution)」の導出に関して取り扱う。
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確率変数の変換について上記でも取り扱ったが、「対数正規分布(log-normal distribution)」に関して具体的に取り扱うにあたって「基礎統計学Ⅰ 統計学入門(東京大学出版会)」の5.5節や6.11節などを参考にした。

確率変数の変換

以下の議論においては直感的なイメージを重視し、数式の厳密さはそれほど重視しないものとする。微分と差分の話を厳密に考えると難しいため、ここでは直感的なイメージを優先する。
確率変数の変換においては関数$Y=\phi(X)$を用いて$X$を$Y$に変換できると考える。

ここで、区間$x \leq X \leq x + \Delta x$が関数$\phi(x)$を用いて区間$y \leq Y \leq y + \Delta y$に移ったと考える。このとき、それぞれの区間の確率に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
P(x \leq X \leq x + \Delta x) = P(y \leq Y \leq y + \Delta y)
\end{align}
$$

また、確率変数$X, Y$に対応する確率密度関数をそれぞれ$f(x), g(x)$とするとき、それぞれの微小区間$\Delta x, \Delta y$に対して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
g(y) \Delta y = f(x) \Delta x
\end{align}
$$
上記の式は、下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
g(y) &= f(x) \frac{\Delta x}{\Delta y} \\
&\simeq f(x) \frac{d x}{d y} \qquad (1)
\end{align}
$$
厳密さは重視しないため、以下では$\simeq$を$=$と同様に考えることとする。

ここで$y=\phi(x)$より、$x=\phi^{-1}(y)$が成立する。これを$(1)$式に代入すると下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
g(y) &\simeq f(x) \frac{d x}{d y} \\
&= f(\phi^{-1}(y)) \left| \frac{d \phi^{-1}(y)}{d y} \right|
\end{align}
$$

対数正規分布の導出

「確率変数の変換」のところで確認した式を用いて対数正規分布(log-normal distribution)の導出を行う。
$X$が正規分布の$N(\mu, \sigma^2)$に従っている時、$Y=e^X$の確率分布を求める。
$$
\large
\begin{align}
g(y) = f(\phi^{-1}(y)) \left| \frac{d \phi^{-1}(y)}{d y} \right|
\end{align}
$$

$y=\phi(x)=e^x, x=\phi^{-1}(y)=\log{y}$を考えて、上記の式に対応する関数を計算すると下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
\phi^{-1}(y) &= \log{y} \\
\left| \frac{d \phi^{-1}(y)}{d y} \right| &= \left| \frac{d \log{y}}{d y} \right| \\
&= \frac{1}{y}
\end{align}
$$

よって、確率密度関数の$g(y)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
g(y) &= f(\phi^{-1}(y)) \left| \frac{d \phi^{-1}(y)}{d y} \right| \\
&= f(\log{y}) \frac{1}{y} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}y} exp \left( -\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right)
\end{align}
$$
ここで確率密度関数の$g(y)$の変数に関して、定義域が$y = e^x > 0$であることも抑えておくと良い。

ここまでに導出した、$y$を$x$に置き換えると、対数正規分布の確率密度関数の式に一致する。
$$
\large
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}x} exp \left( -\frac{(\log{x}-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right)
\end{align} \quad x > 0
$$
また、対数正規分布の期待値と分散は下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= \exp \left( \mu + \frac{\sigma^2}{2} \right) \\
V[X] &= \exp \left( 2\mu + 2\sigma^2 \right) – \exp \left( 2\mu + \sigma^2 \right)
\end{align}
$$