# Ch.7 「分布の仮定」の章末問題の解答例　〜基礎統計学Ⅲ 自然科学の統計学(東京大学出版会)〜

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## 章末の演習問題について

### 問題7.2の解答例

i)
\large \begin{align} L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} (X_i-\theta)^2 \end{align}

ここで$L(\theta)$を$\theta$で微分すると下記が得られる。
\large \begin{align} \frac{\partial L(\theta)}{\partial \theta} &= -2 \sum_{i=1}^{n} (X_i-\theta) \\ &= -2 (n \bar{X} – n \theta) \\ &= 2n (\theta – \bar{X}) \end{align}

### 問題7.3の解答例

import numpy as np

x = np.array([8.2,7.5,8.7,8.4,9.6])
theta = 8.4
for i in range(10):
W = 1/(1+(x-theta)**2)
theta = np.sum(W*x)/np.sum(W)
print(theta)

・実行結果

8.42017221731
8.42650412892
8.42849591517
8.42912290722
8.42932032277
8.42938248582
8.42940206044
8.42940822436
8.42941016535
8.42941077656

### 問題7.4の解答例

i)

$$\large \begin{array}{|c|*3{c|}}\hline \mathrm{stem} & \mathrm{leaf} & \mathrm{degree} & \mathrm{depth} : n=25 \\ \hline 5.5 & 77 & 2 & 2 \\ \hline 5.2 & 5 & 1 & 3 \\ \hline 5.1 & 233689 & 6 & 9 \\ \hline 5.0 & 112458 & 6 & \\ \hline 4.9 & 058 & 3 & 10 \\ \hline 4.8 & 0117 & 4 & 7 \\ \hline 4.7 & 9 & 1 & 3 \\ \hline 4.6 & 9 & 1 & 2 \\ \hline 4.5 & 8 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

ⅱ)

import numpy as np

x = np.array([4.95,5.02,5.08,4.90,5.12,5.19,4.80, \
4.87,4.98,4.58,4.81,5.18,5.25,5.05,4.79,5.57,5.01, \
5.57,5.01,4.81,5.13,5.04,5.13,5.16,4.69])

print(np.sum(x)/25.)

・実行結果

5.0276

ⅲ)
i)で表した幹葉表示より、$X_{med}=5.02$であることが確認できる。

iv)

import numpy as np

x = np.array([4.95,5.02,5.08,4.90,5.12,5.19,4.80, \
4.87,4.98,4.58,4.81,5.18,5.25,5.05,4.79,5.57,5.01, \
5.57,5.01,4.81,5.13,5.04,5.13,5.16,4.69])

print(np.sum(np.sort(x)[3:-3])/(25.-6.))

・実行結果

5.0126...

v)

vi)

### 問題7.5の解答例

$(7.33), (7.34)$式を元に二項分布$Bin(17,0.5)$を考えると、棄却域が$N \leq 4, 13 \leq N$のときに有意水準が$\alpha=0.0490 \simeq 0.05$となる。ここで与えられた観測値は$N=5$であるので、「母平均$=0$」の帰無仮説は棄却されない。

### 問題7.6の解答例

\large \begin{align} & 42.6, 43.9, 44.1, 44.2, \underline{44.7}, 45.0, 45.8, \underline{46.8}, \underline{46.9}, \underline{47.1}, \\ & 47.4, 48.0, \underline{48.2}, 48.7, 49.5, 49.6, \underline{50.0}, 50.0, 51.4, \underline{52.1}, \\ & 52.7, 52.8, \underline{53.5}, \underline{54.2}, \underline{56.3} \end{align}

\large \begin{align} 5, 8, 9, 10, 13, 17.5, 20, 23, 24, 25 \end{align}

### 問題7.7の解答例

i)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x_A = np.array([10.5, 10.4, 10.6, 11.9, 11.3, 11.8, 11.7, 12.6, 10.9, 11.1, 13.0, 11.2, 13.4, 10.8, 11.2])
x_B = np.array([20.0, 18.3, 20.3, 37.1, 20.2, 21.0, 6.5, 24.0, 14.2, 21.0, 18.3, 13.4, 14.8, 21.6, 16.8])

x_A_ranked = np.sort(x_A)
x_B_ranked = np.sort(x_B)
y = np.linspace(0.,1.,16)

plt.subplot(121)
plt.plot(x_A_ranked,y[1:])
plt.yscale("log")
plt.ylim([0.06,1.01])
plt.subplot(122)
plt.plot(x_B_ranked,y[1:])
plt.yscale("log")
plt.ylim([0.06,1.01])
plt.show()

・実行結果

ⅱ)

def calc_moment(x):
m2 = np.sum((x-np.mean(x))**2)/x.shape[0]
m3 = np.sum((x-np.mean(x))**3)/x.shape[0]
m4 = np.sum((x-np.mean(x))**4)/x.shape[0]
b1 = m3/(m2)**(1.5)
b2 = m4/m2**2 - 3.
return b1, b2

b1_A, b2_A = calc_moment(x_A)
b1_B, b2_B = calc_moment(x_B)

print("・A")
print("b1: {:.2f}, b2: {:.2f}".format(b1_A,b2_A))
print("===")
print("・B")
print("b1: {:.2f}, b2: {:.2f}".format(b1_B,b2_B))

・実行結果

・A
b1: 0.80, b2: -0.40
===
・B
b1: 0.90, b2: 2.40

ここで$n=15$のときの$5％$点が$b_1=0.9, b_2=1.1$、$1$％点が$b_1=1.3, b_2=2.3$であることから、$A$は$5$％でも棄却できず、$B$は$1$％で棄却できることが確認される。よって、$B$は正規分布に従っていないと考えられる。