当記事は「経済・ファイナンスデータの計量時系列分析(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.3の「予測」の章末問題の解説について行います。
基本的には書籍の購入者向けの解答例・解説なので、まだ入手されていない方は入手の上、ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。（そのため著者の意図とは異なる解説となる可能性はあります）
また、下記に公式の解答があるので、こちらも合わせて参照ください。
https://www.asakura.co.jp/user_data/contents/12792/3.pdf
章末の演習問題について
問題3.1の解答例
$$
\large
\begin{align}
E[(y_{t+h}-\hat{y}_{t+h|t})^2| & \Omega_{t}] = E[((y_{t+h}-\mu_{t+h|t})+(\mu_{t+h|t}-\hat{y}_{t+h|t}))^2|\Omega_{t}] \\
&= E[(y_{t+h}-\mu_{t+h|t})^2|\Omega_{t}] + E[(\mu_{t+h|t}-\hat{y}_{t+h|t})^2|\Omega_{t}] \\
& + E[(y_{t+h}-\mu_{t+h|t})(\mu_{t+h|t}-\hat{y}_{t+h|t})|\Omega_{t}]
\end{align}
$$
上記に対し、$E[(y_{t+h}-\mu_{t+h|t})(\mu_{t+h|t}-\hat{y}_{t+h|t})|\Omega_{t}]=0$が成立することより、$(3.4)$式が成り立つことが確認できる。
問題3.2の解答例
$(3.14)$式に$(3.11)$式を代入すると下記のように変形を行うことができる。
$$
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\begin{align}
\hat{y}_{t+2|t} &= c + \phi_1 \hat{y}_{t+1|t} + \phi_2 y_{t} + … + \phi_p y_{t-p+2} \\
&= c + \phi_1 (c + \phi_1 y_t + \phi_2 y_{t-1} + … + \phi_p y_{t-p+1}) + \phi_2 y_{t} + … + \phi_p y_{t-p+2} \\
&= (1 + \phi_1)c + (\phi_1^2 + \phi_2) y_{t} + (\phi_1 \phi_2 + \phi_3) y_{t-1} + … + \phi_1 \phi_p y_{t-p+1})
\end{align}
$$
上記より、$(3.13)$式と$(3.14)$式が一致することがわかる。
問題3.3の解答例
$1)$
$(3.11)$式と$y_t=4.0$より、最適一期先点予測$\hat{y}_{t+1|t}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\hat{y}_{t+1|t} &= 0.5 y_t \\
&= 0.5 \times 4.0 = 2.0
\end{align}
$$
また、$(3.12)$式と$\epsilon_{t} \sim N(0,4)$より、$MSE(\hat{y}_{t+1|t})$は下記のように計算できる。 $$
\large
\begin{align}
MSE(\hat{y}_{t+1|t}) &= E[\epsilon_{t+1}^2] \\
&= 4
\end{align}
$$
$2)$
$(3.15)$式と$1)$の結果より、一期先区間予測は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
& [\hat{y}_{t+1|t} – 1.96 \sqrt{MSE(\hat{y}_{t+1|t})}, \hat{y}_{t+1|t} + 1.96 \sqrt{MSE(\hat{y}_{t+1|t})}] \\
&= [2.0 – 1.96 \times 2, 2.0 + 1.96 \times 2] \\
&= [-1.92, 5.92]
\end{align}
$$
$3)$
$2$期先点予測$\hat{y}_{t+2|t}$は、$(3.14)$式と$1)$の結果より、下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\hat{y}_{t+2|t} &= 0.5 \hat{y}_{t+1|t} \\
&= 0.5 \times 2.0 = 1.0
\end{align}
$$
また、$MSE(\hat{y}_{t+2|t})$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
MSE(\hat{y}_{t+2|t}) &= E[\epsilon_{t+2}^2+\phi_{1}^2\epsilon_{t+2}^2] \\
&= (1+0.5^2) \times 4 = 5
\end{align}
$$
$4)$
$(3.16)$式を考えることで、$2$期先$95$％区間予測は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
& [\hat{y}_{t+2|t} – 1.96 \sqrt{MSE(\hat{y}_{t+2|t})}, \hat{y}_{t+2|t} + 1.96 \sqrt{MSE(\hat{y}_{t+1|t})}] \\
&= [1.0 – 1.96 \sqrt{5}, 2.0 + 1.96\sqrt{5}] = [-3.38, 5.38]
\end{align}
$$
$5)$
直前の値のみ参照を行うが、$y_t=4.0$であることは変わらないので関連する全ての結果も同じ結果が得られる。このことは$1$階のマルコフ性と同様に考えることができる。
問題3.4の解答例
$1)$
$(3.14)$式と$y_t=2.1, y_{t-1}=0.8$より、最適$2$期先点予測$\hat{y}_{t+2|t}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align} \hat{y}_{t+1|t} &= c + \phi_1 y_t + \phi_2 y_{t-1} \\
&= 1.1 + 0.3 \times 2.1 – 0.4 \times 0.8 = 2.0
\end{align}
$$
$2)$
$\epsilon_{t} \sim N(0,9)$より、$1$期先の$MSE(\hat{y}_{t+1|t})$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
MSE(\hat{y}_{t+1|t}) &= E[\epsilon_{t+1}^2] \\
&= 9
\end{align}
$$
上記より、$1$期先$95$％区間予測は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
& [\hat{y}_{t+1|t} – 1.96 \sqrt{MSE(\hat{y}_{t+1|t})}, \hat{y}_{t+1|t} + 1.96 \sqrt{MSE(\hat{y}_{t+1|t})}] \\
&= [1.41 – 1.96 \times 3, 2.0 + 1.96 \times 3] = [-4.47, 7.29]
\end{align}
$$
$3)$
$(3.11)$式と$\hat{y}_{t+2|t}=1.41, y_t=2.1$より、最適$1$期先点予測$\hat{y}_{t+1|t}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\hat{y}_{t+1|t} &= c + \phi_1 \hat{y}_{t+1|t} + \phi_2 y_{t} \\
&= 1.1 + 0.3 \times 1.41 – 0.4 \times 2.1 = 0.683
\end{align}
$$
$4)$
$y_{t-1}$の値が異なることから、全ての値が変わる。
問題3.5の解答例
$1)$
$1$期先点予測は下記を実行することで計算できる。
import numpy as np
mu = 0.1
theta = np.array([0.3, 0.4])
y = np.array([0.5, 1.1, 1.9, 0.7, 1.6, -0.3, 0.1, -0.4, 0.8, -0.1])
epsilon = np.zeros(y.shape[0]+2)
for i in range(y.shape[0]):
epsilon[i+2] = y[i] - mu - theta[0]*epsilon[i+1] - theta[1]*epsilon[i]
print(y[i])
y_pred = mu + theta[0]*epsilon[-1] + theta[1]*epsilon[-2]
print("Predicted y(t+1): {:.2f}".format(y_pred))・実行結果
> print("Predicted y(t+1): {:.2f}".format(y_pred))
Predicted y(t+1): 0.32$2)$
$2$期先点予測は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\hat{y}_{t+2} &= \mu + \theta_{2} \epsilon_{t} \\
&= 0.1 + 0.3 \times (-0.378…) \\
&= -0.0512…
\end{align}
$$
$3)$
$MA(2)$過程であるので、$\hat{y}_{t+3}=\mu=0.1$
$4)$
$1)$と$2)$の解答が変わる。