過去問
過去問題は統計検定公式が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。
[1] 解答
$\boxed{\mathsf{9}}$ : $④$
$S(T) = P(T>t)$ が生存関数なので，累積分布関数 $F(t) = P(T \leq t)$ は，
$$
\begin{equation}
F(t) = P(T\leq t)= 1-S(t)=\begin{cases}
1-\exp(-\lambda t) & \text{($t>0$)} \\
0 & \text{($t<0$)} \ \end{cases} \end{equation} $$ 従って，確率密度関数 $f(t)$ は， $$ \begin{equation} f(t) = F'(T)= \begin{cases} \lambda\exp(-\lambda t) & \text{($t>0$)} \\
0 & \text{($t<0$)}
\end{cases}
\end{equation}
$$
となる．
[2] 解答
$\boxed{\mathsf{10}}$ : $⑤$
平均は，
$$
\begin{align} E[X] &= \int_0^\infty tf(t) dt = \int _0 ^ \infty t\lambda \exp(-\lambda t)dt = \lambda \int_0 ^ \infty t\exp(-\lambda t) dt \\ &= \lambda \left( -\dfrac{1}{\lambda}[ t\exp(-\lambda t)]_0^\infty + \dfrac{1}{\lambda}\int_0 ^\infty \exp(-\lambda t)dt \right) \\ &=\lambda \left( 0 + \dfrac{1}{\lambda}\left[ \dfrac{1}{\lambda}\exp(-\lambda t)\right]_0^\infty \right) \\ &= \dfrac{1}{\lambda} \end{align}
$$
である．
中央値は $1-S(t) = 1/2$ を満たす $t$ である．つまり，$S(t)= 1/2$ を解けばよい．
$S(t)=\exp(-\lambda t) = 1/2$ より，$t = \log 2 /\lambda$ である．
（補足）[1]から確率変数 $T$ の従う分布がパラメータ $\lambda$ の指数分布であることがわかるので，そのことから平均が $1/\lambda$ としてもよい．
[3] 解答
$\boxed{\mathsf{11}}$ : $②$
[2]から平均が $1/\lambda$ がわかっているので，$1/\lambda = 1/2$ より，中央値は $\log2/\lambda = 2\log2 \approx 1.4$ である．