統計検定1級 統計数理 問題解説 ~2018年11月実施 問5~

統計検定1級の2018年11月の「統計数理」の問5の解答例と解説について取り扱いました。他の問題の解答に関しては下記よりご確認ください。
https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi_1_math

問題

詳しくは統計検定公式よりご確認ください。

解答

[1]
・$f_1(y)$の導出
$Y_1$の累積分布関数は$0 < y \leq 1$の範囲で下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
F_{1}(y) &= P(Y_1 \leq y) \\
&= 1 – P(Y_1 > y)
\end{align}
$$

ここで$Y_1 \leq Y_2 \leq Y_3$より、「$Y_1 > y \iff Y_1 > y, Y_2 > y, Y_3 >y$」が成立する。よって、$F_{1}(y)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
F_{1}(y) &= 1 – P(Y_1 > y) \\
&= 1 – P(Y_1 > y, Y_2 > y, Y_3 >y) \\
&= 1 – P(Y_1 > y)P(Y_2 > y)P(Y_3 > y) \\
&= 1 – (1-y)^3
\end{align}
$$

確率密度関数$f_1(y)$は、上記の$F_1(y)$に対して微分を行うことで下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
f_1(y) &= \frac{d}{dy} F_1(y) \\
&= \frac{d}{dy} (1 – (1-y)^3) \\
&= 3(1-y)^2
\end{align}
$$

・期待値$E[Y_1]$の導出
$E[Y_1]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[Y_1] &= \int_{0}^{1} y f_1(y) dy \\
&= \int_{0}^{1} y \times 3(1-y)^2 dy \\
&= 3 \int_{0}^{1} (y^3-2y^2+y) dy \\
&= 3 \left[ \frac{y^4}{4} – \frac{2y^3}{3} + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \\
&= 3 \left( \frac{1}{4} – \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) \\
&= 3 \times \frac{1}{12} \\
&= \frac{1}{4}
\end{align}
$$

・$f_3(y)$の導出
$Y_3$の累積分布関数は$0 < y \leq 1$の範囲で下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
F_{3}(y) = P(Y_3 \leq y)
\end{align}
$$

ここで$Y_1 \leq Y_2 \leq Y_3$より、「$Y_3 \leq y \iff Y_1 \leq y, Y_2 \leq y, Y_3 \leq y$」が成立する。よって、$F_{3}(y)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
F_{3}(y) &= P(Y_3 \leq y) \\
&= P(Y_1 \leq y, Y_2 \leq y, Y_3 \leq y) \\
&= P(Y_1 \leq y)P(Y_2 \leq y)P(Y_3 \leq y) \\
&= y^3
\end{align}
$$

確率密度関数$f_3(y)$は、上記の$F_3(y)$に対して微分を行うことで下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
f_3(y) &= \frac{d}{dy} F_3(y) \\
&= \frac{d}{dy} (y^3) \\
&= 3y^2
\end{align}
$$

・期待値$E[Y_3]$の導出
$E[Y_3]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[Y_3] &= \int_{0}^{1} y f_3(y) dy \\
&= \int_{0}^{1} y \times 3y^2 dy \\
&= 3 \int_{0}^{1} 3y^3 dy \\
&= 3 \left[ \frac{3 y^4}{4} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{3}{4}
\end{align}
$$

[2]
$0 < y \leq 1$の範囲で$Y_2 \leq y$が成立する場合は、「$Y_1,Y_2,Y_3 \leq y$」の場合か「$Y_1,Y_2 \leq y, Y_3 > y$」の場合のどちらかである。$y$を上回る$X_1,X_2,X_3$の選び方は$3$通りあるので、$Y_2$の累積分布関数$F_{2}(y)$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
F_{2}(y) &= P(Y_1 \leq y, Y_2 \leq y, Y_3 \leq y) + {}_3 C_1 P(Y_1 \leq y, Y_2 \leq y, Y_3 > y) \\
&= P(Y_1 \leq y)P(Y_2 \leq y)P(Y_3 \leq y) + 3P(Y_1 \leq y)P(Y_2 \leq y)P(Y_3 > y) \\
&= y^3 + 3 y^2(1-y) \\
&= y^3 + 3y^2 – 3y^3 \\
&= 3y^2 – 2y^3
\end{align}
$$

よって確率密度関数$f_2(y)$は、上記の$F_2(y)$に対して微分を行うことで下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
f_2(y) &= \frac{d}{dy} F_2(y) \\
&= \frac{d}{dy} (3y^2 – 2y^3) \\
&= 6y – 6y^2 \\
&= 6y(1-y)
\end{align}
$$

また、$P(Y_2 \leq 0.5)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P(Y_2 \leq 0.5) &= \int_{0}^{0.5} f_2(y) dy \\
&= \int_{0}^{0.5} (6y – 6y^2) dy \\
&= \left[ 3y^2 – 2y^3 \right]_{0}^{0.5} \\
&= 3 \times (0.5)^2 – 2 \times (0.5)^3 \\
&= 0.5
\end{align}
$$

[3]
確率変数$Z$の期待値を$E[Z]$とおくと、$E[Z]=E[Y_3-Y_1]=E[Y_3]-E[Y_1]$より、$E[Z]$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
E[Z] &= E[Y_3] – E[Y_1] \\
&= \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$

分散の計算は公式の解答が詳しいのでここでは省略を行なった。

解説

順序統計量からの確率密度関数の導出にあたっては累積分布関数の微分から計算することでシンプルに導出することが可能です。一連の導出の流れは抑えておくと良いと思います。
20点配分なら[1]が7点、[2]が5点、[3]が8点ほどが妥当な印象でした。