統計検定1級の2018年11月の「統計応用、理工学」の問1の解答例と解説について取り扱いました。他の問題の解答に関しては下記よりご確認ください。
https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi_1_app
問題
詳しくは統計検定公式よりご確認ください。
解答
[1]
・累積分布関数$F(x)$の導出
指数分布の累積分布関数$F(x)$は$x>0$のとき、下記のように導出することができる。
$$
\large
\begin{align}
F(x) &= \int_{0}^{x} f(t) dt \\
&= \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} dt \\
&= \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} \right]_{0}^{x} \\
&= -(e^{-\lambda x} – e^{0}) \\
&= 1 – e^{-\lambda x}
\end{align}
$$
また、$x \leq 0$のときは$F(x)=0$が成り立つ。
・モーメント母関数$m_{X}(t) = E[e^{tX}]$の導出
$t < \lambda$のとき、モーメント母関数$m_{X}(t)$は下記のように導出することができる。
$$
\large
\begin{align}
m_{X}(t) &= E[e^{tX}] \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{tx} \times \lambda e^{-\lambda x} dx \\
&= \lambda \int_{0}^{\infty} e^{tx – \lambda x} dx \\
&= \lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-t)x} dx \\
&= -\frac{\lambda}{\lambda – t} \left[ e^{-(\lambda-t)x} \right]_{0}^{\infty} \\
&= -\frac{\lambda}{\lambda – t} (0-1) \\
&= \frac{\lambda}{\lambda – t}
\end{align}
$$
[2]
$$
\large
\begin{align}
g_{n}(w) &= \frac{\lambda^{n} w^{n-1} e^{-\lambda w}} \quad (w \geq 0) \\
&= 0 \quad (w < 0)
\end{align}
$$
上記の導出に関しては省略する。公式の解答ではたたみこみの公式と数学的帰納法を用いることで示される。
$t < \lambda$が成立するとき、モーメント母関数$m_{W}(t)$は$W=X_1+…+X_n$と[1]の結果を活用することで下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
m_{W}(t) &= E[e^{tW}] \\
&= E[e^{t(X_1+…+X_n)}] \\
&= \prod_{i=1}^{n} E[e^{tX_i}] \\
&= \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda}{\lambda – t} \\
&= \left( \frac{\lambda}{\lambda – t} \right)^{n}
\end{align}
$$
[3]
$U \sim Uniform(0,1)$より、$U$の確率密度関数を$g(u)$のようにおくと、$g(u)$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
g(u) &= 1, \quad (0 \leq u \leq 1) \\
&= 0, \quad otherwise
\end{align}
$$
また、$X = -\lambda^{-1} \log U$を$U$に関して解くと下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
X &= -\lambda^{-1} \log U \\
-\lambda X &= \log U \\
U &= e^{-\lambda X}
\end{align}
$$
このとき、$0 \leq u \leq 1$に対応する$x$の区間は$0 \leq x$であることが元の式より分かる。
ここで確率変数$X$の確率密度関数を$f(x)$とおくと、$0 \leq u \leq 1, 0 \leq x$の区間における変数変換の式より$f(x)$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) &= g(u) \left| \frac{du}{dx} \right| \\
&= 1 \times \left| – \lambda e^{-\lambda x} \right| \\
&= \lambda e^{-\lambda x}
\end{align}
$$
上記が指数分布の確率密度関数に一致するので、$X \sim Exp(\lambda)$が成立する。
・別解
累積分布関数$F(x)$を考えることで示すこともできる。公式の解答例が詳しいのでここでは省略する。
[4]
[1]の結果より、$P(X \geq x)$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
P(X \geq x) &= 1 – P(X \leq x) \\
&= 1 – F(x) \\
&= e^{-\lambda x}
\end{align}
$$
ここで$Y$を$X$の整数部分とすると、$y=0,1,2,…$に関して下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
P(Y = y) &= P(y \leq X < y+1) \\
&= P(X \geq y) – P(X \geq y+1) \\
&= e^{-\lambda y} – e^{-\lambda (y+1)} \\
&= e^{-\lambda y} – e^{-\lambda y} e^{-\lambda} \\
&= \left( 1 – e^{-\lambda} \right) e^{-\lambda y} \\
&= \left( 1 – e^{-\lambda} \right) \left( e^{-\lambda} \right)^{y}
\end{align}
$$
上記に対して$\lambda = – \log(1-p)$を元に$1-e^{-\lambda}=p, e^{-\lambda}=1-p$を適用すると下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
P(Y = y) &= \left( 1 – e^{-\lambda} \right) \left( e^{-\lambda} \right)^{y} \\
&= p (1-p)^{y}
\end{align}
$$
上記が幾何分布の確率関数に一致するので所与の結果が得られる。
[5]