はじめに
この記事では$2022$年度共通テスト 数学IA より、第$3$問 確率を扱います。
・入試問題 解答・解説まとめ
https://www.hello-statisticians.com/entrance_exam
問題となる試行は以下の通りです。
複数人でプレゼントを持ち寄り、交換する。その手順として、代表者がそれらを回収し、全員にひとつずつランダムに配布するという方法をとる。これを、全員が自分以外の人が持ってきたプレゼントを受け取るまで繰り返す（全員が自分以外の人が持ってきたプレゼントを受け取れば終了）。
人数が変動していきます。
$2, 3$ 人で行うケース
$(1)$
(i) アイウ
$1$通り,求める確率は $\displaystyle \frac{1}{2}$
(ii) エオカ
この大問では、この後$ 4,5$ 人の場合を考えることになります。そのときのヒントになると思われるので、全事象を書き出してみます。$A, B, C$ の$3$ 人でそれぞれが$ a,b,c$ というプレゼントを持ってきたとします。一回の交換で$ A,B,C$ ぞれぞれがもつプレゼントの組み合わせの表です。
| A | B | C | 終了 |
| a | b | c | |
| a | c | b | |
| b | a | c | |
| b | c | a | YES |
| c | a | b | YES |
| c | b | a |
表から、一回の交換で終了する受け取り方の総数は$ 2 $ 通りです。確率は$ \displaystyle \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。
(iii)キクケコ
(ちょうど$1$回の交換で終了する確率)+(ちょうど$2$回の交換で終了する確率)+(ちょうど$3$回の交換で終了する確率)+(ちょうど$4$回の交換で終了する確率) を求めます。
$(ちょうど1回の交換で終了する確率) = \displaystyle \frac{1}{3}$
(ちょうど$2$回の交換で終了する確率) : $1$回目では終わらない（余事象）、かつ$2$回目で終わる確率です。(ii)の答えから，一回の交換で終了となる確率が $1/3$ です。よって、$$\displaystyle \left(1-\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$
$(ちょうど3回の交換で終了する確率) = \displaystyle \left(1 – \frac{1}{3} – \frac{2}{9}\right) \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$
$(ちょうど4回の交換で終了する確率) = \displaystyle \left(1 – \frac{1}{3} – \frac{2}{9} – \frac{4}{27}\right) \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$
全部足して，$\displaystyle \frac{65}{81}$ (答)
$4,5$ 人で行うケース
$(2)$
サ
$1人以外の3人$は違う人のプレゼントを受け取ることになります。自分のプレゼントを受け取る人の選び方が$ 4 $通りあり、残りの$3$人が違う人のプレゼントを受け取る場合の数は $(1) $の表から $2$ 通りです。答えは 8 通りです。
シ
$2$人の選び方$({_4}C{_2})$と、残り$2$人は自分のではないプレゼントを受け取るという場合の数を考慮して、$6 \times 1 = 6 (通り)$
スセ
サ，シで考えた場合と、ちょうど$3$人が自分のプレゼントを受け取る場合を考えます。$3$人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は$ 1 $です。よって、$8+6+1=15$
ソタ
求める確率は$$\displaystyle 1 – \frac{15}{24} = \frac{3}{8}$$
$(3)$ チツテト
受け取り方の総数は$ 5! = 120 $通りです。全問と同様、何人かが自分のを受け取り、それ以外は別の人のを受け取る場合を表にまとめました。
| 自身のを受け取る人数 | その選び方 | 残りが別の人のを受け取る場合の数(全問を参考に) |
| $1$ | ${_5}C{_1}$ | $9 (= 24 – 15)$ |
| $2$ | $10$ | $2$ |
| $3$ | $10$ | $1$ |
| $5$ | $1$ | $1$ |
$2,3$ 列目を掛け算して、足し合わせると、$76$が出てきます。これは$5$人の場合に、終了しない受け取り方の総数です。余事象を考えて、$$\displaystyle 1 – \frac{76}{120} = \frac{11}{30}$$が答えです。
$(4)$ ナニヌネ
$\displaystyle \frac{P\{(A,B,C,D が自分以外のを受け取る)AND(終了)\}}{P\{A,B,C,D が自分以外のを受け取る\}} $を求めます。
事象 {A,B,C,D が自分以外のを受け取る} は {全員が自分以外のを受け取る} $\vee$ {Eだけ自身のを受け取る} と等価であり、これらは排反です。
$P${全員が自分以外のを受け取る} = $\displaystyle \frac{11}{30}$
$P${Eだけ自身のを受け取る}
$= P${(Eだけ自身の) AND (他の$4$人は互いに別の人のを受け取る($9$通り))} = $\displaystyle \frac{9}{120}$
$P${(A,B,C,D が自分以外のを受け取る)AND(終了)} は、1回目で終了する確率$\displaystyle \frac{11}{30}$であるため、求める確率は
$$\displaystyle \frac{\frac{11}{30}}{\frac{11}{30} + \frac{9}{120}}=\frac{44}{53}$$
出典: $2022$年度共通テスト 数学IA