当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$14$の「ベクトルと行列の加減」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$14.1$
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\begin{align}
A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 7 \\ 5 & 8 & 9 \end{array} \right), \quad B = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0.3 & 0.5 \\ 0.3 & 1 & 0.7 \\ 0.5 & 0.7 & 1 \end{array} \right), \quad C = \left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 6 & 8 \\ 7 & 1 & 9 & 7 \end{array} \right)
\end{align}
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$A, B$は$3 \times 3$正方行列、$C$は$3 \times 4$行列である。また、それぞれの転置行列は下記のように表せる。
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\begin{align}
A^{\mathrm{T}} &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 4 & 7 & 9 \end{array} \right) \\
B^{\mathrm{T}} &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0.3 & 0.5 \\ 0.3 & 1 & 0.7 \\ 0.5 & 0.7 & 1 \end{array} \right) \\
C^{\mathrm{T}} &= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 6 & 9 \\ 4 & 8 & 7 \end{array} \right)
\end{align}
$$
問題$14.2$
$2A+3B$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
2A+3B &= 2 \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 7 \\ 5 & 8 & 9 \end{array} \right) + 3 \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0.3 & 0.5 \\ 0.3 & 1 & 0.7 \\ 0.5 & 0.7 & 1 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{ccc} 5 & 4.9 & 9.5 \\ 6.9 & 15 & 16.1 \\ 11.5 & 18.1 & 21 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$\mathrm{Tr}(2A+3B), 2\mathrm{Tr}(A)+3\mathrm{Tr}(B)$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\mathrm{Tr}(2A+3B) &= 5 + 15 + 21 = 41 \\
2\mathrm{Tr}(A)+3\mathrm{Tr}(B) &= 2(1+6+9) + 3(1+1+1) = 41
\end{align}
$$
よって$\mathrm{Tr}(2A+3B) = 2\mathrm{Tr}(A)+3\mathrm{Tr}(B)$が成立することが確認できる。