確率過程に関連して差分方程式(difference equation)の一般解などが出てくるが、「数列」で取り扱われる「隣接三項間漸化式」の一般化と考えることもできる。当記事ではどちらの観点からも理解できるように、取りまとめを行なった。
「自然科学の統計学」の10章「確率過程の基礎」の章末の「付節 差分方程式の解法」を参考に作成を行なった。
手法の確認
問題設定の確認
数列$\{ a_{n} \}$に関して、下記の隣接三項間の漸化式を考える。
$$
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\begin{align}
a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_{n} = 0, \quad n=0, 1, … \quad (1)
\end{align}
$$
上記は$2$次 or $2$階の差分方程式(difference equation)ともいわれる。これに対し、下記のような特性方程式(characteristic equation)を考える。
$$
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\begin{align}
t^2 + p t + q = 0 \quad (2)
\end{align}
$$
この特性方程式の$2$解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha, \beta$の値に基づいて漸化式の一般項を表すにあたって、以下では導出の確認を行う。
差分方程式(difference equation)の一般解
$$
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\begin{align}
a_{n} = \alpha^{n}, \beta^{n}
\end{align}
$$
前項の$\alpha, \beta$に対して、$\alpha \neq \beta$なら上記が漸化式$(1)$の解となる。これに関しては$a_{n+2} = \alpha^{n+2}, a_{n+1} = \alpha^{n+1}, a_{n} = \alpha^{n}$を$(1)$式に代入することで確認できる。
$$
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\begin{align}
\alpha^{n+2} + p \alpha^{n+1} + q \alpha^{n} &= \alpha^{n}(\alpha^{2} + p \alpha + q) \\
&= 0
\end{align}
$$
ここで$a_{n} = \alpha^{n}, \beta^{n}$を$1$次数独立な解であると考え、さらに一般的な解を任意の定数$A, B$に関して下記のように考える。
$$
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\begin{align}
a_{n} = A \alpha^{n} + B \beta^{n}
\end{align}
$$
上記を漸化式$(1)$の一般解(general solution)という。$A, B$の具体的な値は$a_{0}, a_{1}$などが与えられれば導出できる。$a_{n} = A \alpha^{n} + B \beta^{n}$が解であることは$(1)$式に代入することで、下記のように確認できる。
$$
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\begin{align}
a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_{n} &= (A \alpha^{n+2} + B \beta^{n+2}) + p (A \alpha^{n+1} + B \beta^{n+1}) + q (A \alpha^{n} + B \beta^{n}) \\
&= A \alpha^{n}(\alpha^{2} + p \alpha + q) + B \beta^{n}(\beta^{2} + p \beta + q) \\
&= 0
\end{align}
$$
ここまでは$\alpha \neq \beta$に関して取り扱ったが、$\alpha = \beta$の重解の場合に関して以下では確認を行う。重解$\alpha$に関しては下記のように一般解を考えることができる。
$$
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\begin{align}
a_{n} = (A + Bn) \alpha^{n}
\end{align}
$$
上記の一般解は$a_{n} = n \alpha^{n}$も漸化式$(1)$の解であることからも理解できる。
$$
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\begin{align}
(n+2) \alpha^{n+2} + p a_{n+1} + q a_{n} &= n\alpha^{n} (\alpha^{2} + p \alpha + q) \\
&= n\alpha^{n} (\alpha^{2} + p \alpha + q) + 2\alpha^{n+1} \left( \alpha + \frac{p}{2} \right) \\
&= 0
\end{align}
$$
$\displaystyle \alpha + \frac{p}{2} = 0$は$\alpha$が重解であることより導出できる。
隣接三項間漸化式の解法
隣接三項間漸化式の解法も特性方程式の解の$\alpha, \beta$を用いて解を導出する。
・$\alpha \neq \beta$の場合
$$
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\begin{align}
a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta ( a_{n+1} – \alpha a_{n} ) \\
a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha ( a_{n+1} – \beta a_{n} )
\end{align}
$$
上記のように漸化式を変形できることを元に、数列$\{ a_{n+1} – \alpha a_{n} \}$と$\{ a_{n+1} – \beta a_{n} \}$を考える。
・$\{ a_{n+1} – \alpha a_{n} \}$
$$
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\begin{align}
a_{n+1} – \alpha a_{n} &= \beta ( a_{n} – \alpha a_{n-1} ) \\
&= … \\
&= \beta^n ( a_{1} – \alpha a_{0} ) \quad (3)
\end{align}
$$
・$\{ a_{n+1} – \beta a_{n} \}$
$$
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\begin{align}
a_{n+1} – \beta a_{n} &= \alpha ( a_{n} – \beta a_{n-1} ) \\
&= … \\
&= \alpha^{n} ( a_{1} – \beta a_{0} ) \quad (4)
\end{align}
$$
$\alpha \neq \beta$より、$(3)-(4)$を考える。
$$
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\begin{align}
a_{n+1} – \alpha a_{n} – (a_{n+1} – \beta a_{n}) &= \beta^n ( a_{1} – \alpha a_{0} ) – \alpha^{n} ( a_{1} – \beta a_{0} ) \\
(\beta – \alpha) a_{n} &= \beta^n ( a_{1} – \alpha a_{0} ) – \alpha^{n} ( a_{1} – \beta a_{0} ) \\
a_{n} &= \frac{\beta^n ( a_{1} – \alpha a_{0} ) – \alpha^{n} ( a_{1} – \beta a_{0} )}{\beta – \alpha} \quad (5)
\end{align}
$$
ここで$(5)$式に対して、$\displaystyle A = -\frac{a_{1} – \beta a_{0}}{\beta – \alpha}, B = \frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\beta – \alpha}$とおくことで、前項の一般項の式に一致することは抑えておくと良い。
・$\alpha = \beta$の場合
$$
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\begin{align}
a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \alpha ( a_{n+1} – \alpha a_{n} )
\end{align}
$$
上記のように漸化式を変形できることを元に、数列${ a_{n+1} – \alpha a_{n} }$を考える。
$$
\large
\begin{align}
a_{n+1} – \alpha a_{n} &= \alpha ( a_{n} – \alpha a_{n-1} ) \\
&= … \\
&= \alpha^n ( a_{1} – \alpha a_{0} ) \quad (6)
\end{align}
$$
ここで$(6)$式の両辺を$\alpha^{n+1}$で割ることで下記のように変形できる。
$$
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\begin{align}
a_{n+1} – \alpha a_{n} &= \alpha^n ( a_{1} – \alpha a_{0} ) \\
\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} – \frac{a_{n}}{\alpha^{n}} &= \frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\alpha} \\
\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} &= \frac{a_{n}}{\alpha^{n}} + \frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\alpha}
\end{align}
$$
上記は数列$\displaystyle \left\{ \frac{a_{n}}{\alpha^{n}} \right\}$が等差数列であることを表しており、このことに基づいて下記のように一般項を導出することができる。
$$
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\begin{align}
\frac{a_{n}}{\alpha^{n}} &= \frac{a_{n-1}}{\alpha^{n-1}} + \frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\alpha} \\
&= \frac{a_{n-2}}{\alpha^{n-2}} + 2\frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\alpha} \\
&= … \\
&= \frac{a_{0}}{\alpha^{0}} + n\frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\alpha} \\
&= a_{0} + n\frac{a_{1} – \alpha a_{0}}{\alpha} \\
a_{n} &= a_{0} \alpha^{n} + n a_{1} \alpha^{n-1} – n a_{0} \alpha^{n} \\
&= \left( a_{0} + n \left( \frac{a_{1}}{\alpha} – a_{0} \right) \right) \alpha^{n}
\end{align}
$$
ここで$(7)$式に対して、$\displaystyle A = a_{0}, B = \frac{a_{1}}{\alpha} – a_{0}$とおくことで、前項の一般項の式に一致することは抑えておくと良い。