Ch.4 「確率」の章末問題の解答例 〜基礎統計学Ⅰ 統計学入門(東京大学出版会)〜

当記事は「基礎統計学Ⅰ 統計学入門(東京大学出版会)」の読解サポートにあたってChapter.4の「確率」の章末問題の解説について行います。
https://www.hello-statisticians.com/category/explain-books-cat/toukeigakunyuumon-akahon
※ 基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は下記より入手をご検討いただけたらと思います。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。(そのため著者の意図とは異なる解説となる可能性はあります)

章末の演習問題について

問題4.1の解答例

i)
4回投げて一度も$6$の目が出ない確率は下記のように計算できる。
$$
\begin{align}
\left( \frac{5}{6} \right)^4 = \frac{625}{1296}
\end{align}
$$
また、少なくとも一回$6$の目が出る確率はこの余事象なので下記のように計算できる。
$$
\begin{align}
1 – \left( \frac{5}{6} \right)^4 = \frac{671}{1296}
\end{align}
$$
二つの確率を比較して、「少なくとも一回$6$の目が出ることに賭ける方が良い」ことがわかる。

ⅱ)
二個のサイコロを24回投げて$(6,6)$が1回も出ない確率は下記のようになる。
$$
\begin{align}
\left( \frac{35}{36} \right)^24 = 0.508596…
\end{align}
$$
したがって、一度も$(6,6)$が出ない方に賭けた方が良い。

問題4.2の解答例

二個のサイコロを$n$回投げて目の和が一度も$12$にならない確率は下記のようになる。
$$
\begin{align}
\left( \frac{35}{36} \right)^n
\end{align}
$$
上記が$0.1$より小さくなる$n$の条件を求めれば良い。
$$
\begin{align}
\left( \frac{35}{36} \right)^n < 0.1 \end{align} $$ 上記を解くにあたって、両辺の対数を取ることを考える。
$$
\begin{align}
\log_{10} \left( \frac{35}{36} \right)^n &< \log_{10} 0.1 \\
n\log_{10} \left( \frac{35}{36} \right) &< -1 \\
n (\log_{10} 35 – \log_{10} 36) &< -1 \\
n (\log_{10} 36 – \log_{10} 35) &> 1 \\
n (3\log_{10}2 + 2\log_{10}3 – \log_{10}7 -1) &> 1 \\
n &> \frac{1}{3\log_{10}2 + 2\log_{10}3 – \log_{10}7 -1} \\
n &> 81.73636…
\end{align}
$$
上記より、$82$回で目の和が少なくとも1回12になる確率が0.9を越えることがわかる。

問題4.3の解答例

30人を15人ずつの2組に分けるにあたっては、片方の組が決まればもう片方も決まることを元に考えれば良い。よって求める場合の数は${}_{30} C_{15}$となる。

問題4.4の解答例

問題4.5の解答例

正方形のテーブルでは対面よりも隣が2倍あるため、2人目がランダムに選んだと考えることができることも考慮しなければならない。

問題4.6の解答例

観測される順序を考慮するなら、目の和が9となるのが25通り、10となるのが27通りである。よって、二つの場合が起こる確率は等しいとは言えない。

問題4.7の解答例

まとめ

Ch.4で取り扱った確率は基本的な確率のトピックである一方で、統計を詳しく学ぶにあたっては確率論が元になるので、必ず抑えておきたい話題です。難しく考え過ぎるとわからなくなる場合もあるので、統計学の学習にあたっては確率の基本については8〜9割わかれば一旦OKのようにある程度は割り切った方が良いと思います。

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